Escrevemos a integral com um limite inferior fixo: $$F(x)=\int_0^{x^2}\textrm{e}^{t^2}\,dt -\int_0^x\textrm{e}^{t^2}\,dt.$$

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, $$\frac{d}{dx}\left(\int_0^{x^2}\textrm{e}^{t^2}\,dt\right) = \textrm{e}^{(x^2)^2}\cdot 2x = 2x\textrm{e}^{x^4},$$ enquanto $$\frac{d}{dx}\left(\int_0^x\textrm{e}^{t^2}\,dt\right) = \textrm{e}^{x^2}.$$

Portanto, $$\colorbox{green!20}{F'(x)=2x\textrm{e}^{x^4} -\textrm{e}^{x^2}}.$$

Da primeira equação obtemos $$x=\frac{12-y^2}{4}=3-\frac{y^2}{4}.$$ Os pontos de interseção satisfazem $$\frac{12-y^2}{4}=y,$$ isto é, $$y^2+4y-12=0=(y+6)(y-2).$$ Logo, os limites de integração são $y=-6$ e $y=2$.

A parábola fica à direita da reta nesse intervalo, então $$A=\int_{-6}^{2}\left(\frac{12-y^2}{4}-y\right)\,dy =\int_{-6}^{2}\left(3-\frac{y^2}{4}-y\right)\,dy.$$

Assim, $$A=\left[3y-\frac{y^3}{12}-\frac{y^2}{2}\right]_{-6}^{2} =\colorbox{green!20}{\frac{64}{3}}.$$

As curvas se encontram quando $$y^2=2y,$$ ou seja, quando $y=0$ ou $y=2$. Para $0\leq y\leq 2$, o raio maior é $R(y)=2y$ e o raio menor é $r(y)=y^2$.

Pelo método de discos com furo, $$V=\pi\int_0^2\left((2y)^2-(y^2)^2\right)\,dy = \pi\int_0^2(4y^2-y^4)\,dy.$$

Portanto, $$V=\pi\left[\frac{4y^3}{3}-\frac{y^5}{5}\right]_0^2 = \colorbox{green!20}{\frac{64\pi}{15}}.$$

Usamos cascas cilíndricas. Uma casca situada em $x$ tem raio $x$, altura $$\frac{1}{1+x^2},$$ e espessura $dx$.

Assim, $$V=2\pi\int_0^2\frac{x}{1+x^2}\,dx.$$ Fazendo $u=1+x^2$, temos $du=2x\,dx$. Logo, $$V=\pi\int_1^5\frac{1}{u}\,du = \colorbox{green!20}{\pi\ln(5)}.$$