Como $f$ é ímpar, o gráfico deve ser simétrico em relação à origem. As condições laterais em $x=3$ exigem uma assíntota vertical nesse ponto, com o ramo à esquerda subindo para $+\infty$ e o ramo à direita descendo para $-\infty$.

A assíntota horizontal $y=0$ indica que os ramos extremos se aproximam do eixo $x$ quando $x\to\pm\infty$. Além disso, a função deve cruzar o eixo $x$ três vezes.

Uma resposta possível é o esboço abaixo.

Temos $$ (g\circ f)(x)=g(f(x))= \ln\left(\frac{1}{x-3}\right). $$ Para que o logaritmo esteja definido, precisamos de $$\frac{1}{x-3}\gt 0.$$ Como o numerador é positivo, isto equivale a $x-3\gt 0$, isto é, $x\gt 3$.

Portanto, $$\colorbox{green!20}{\displaystyle \operatorname{Dom}(g\circ f)=(3,+\infty)}.$$

Para a segunda parte, $$ (f\circ g)(x)=f(\ln x)=\frac{1}{\ln(x)-3}. $$ Assim, $$ \frac{1}{\ln(x)-3}=1 \iff \ln(x)-3=1 \iff \ln(x)=4 \iff x=\textrm{e}^4. $$

Logo, $$\colorbox{green!20}{\displaystyle x=\textrm{e}^4}.$$

Para o primeiro limite, multiplicamos e dividimos pela conjugada: $$\begin{aligned} \lim_{x\to 7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7} &= \lim_{x\to 7} \frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7} \cdot \frac{\sqrt{x+2}+3}{\sqrt{x+2}+3} \\[6pt] &= \lim_{x\to 7} \frac{x+2-9}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)} \\[6pt] &= \lim_{x\to 7} \frac{x-7}{(x-7)(\sqrt{x+2}+3)} \\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \colorbox{green!20}{\displaystyle \frac{1}{6}}. \end{aligned}$$

Para o segundo limite, note que $2x+12=2(x+6)$. Se $x\to -6^+$, então $x+6\gt 0$ e $|x+6|=x+6$. Portanto, $$\lim_{x\to -6^+}\frac{2x+12}{|x+6|} = \lim_{x\to -6^+}\frac{2(x+6)}{x+6}=2.$$

Se $x\to -6^-$, então $x+6\lt 0$ e $|x+6|=-(x+6)$. Logo, $$\lim_{x\to -6^-}\frac{2x+12}{|x+6|} = \lim_{x\to -6^-}\frac{2(x+6)}{-(x+6)}=-2.$$

Como os limites laterais são diferentes, O limite não existe.

Para todo $x\ne 0$ temos $$ -1\leq \sin(\pi/x)\leq 1. $$ Além disso, $1-\cos x\geq 0$, pois $\cos x\leq 1$. Multiplicando a desigualdade por $1-\cos x$, obtemos $$ -(1-\cos x) \leq (1-\cos x)\sin(\pi/x) \leq 1-\cos x. $$

Como $$\lim_{x\to 0}-(1-\cos x)=0 \quad\textrm{e}\quad \lim_{x\to 0}(1-\cos x)=0,$$ pelo teorema do confronto segue que $$\colorbox{green!20}{\displaystyle \lim_{x\to 0}(1-\cos x)\sin(\pi/x)=0}.$$

Escrevemos a equação na forma $F(x)=0$, onde $$F(x)=x^5+x^2-3x-4.$$ Assim, $$F(x)=0 \iff x^5-3x=4-x^2.$$

No intervalo $(-1,1)$ temos $$F(-1)=-1+1+3-4=-1\lt 0,$$ e $$F(1)=1+1-3-4=-5\lt 0.$$ Portanto, não há troca de sinal nos extremos desse intervalo.

No intervalo $(1,2)$ temos $$F(1)=-5\lt 0,$$ enquanto $$F(2)=32+4-6-4=26\gt 0.$$ Como $F$ é contínua, pelo teorema do valor intermediário existe $c$ com $1\lt c\lt 2$ tal que $F(c)=0$.

Como a equação admite uma única solução, essa solução pertence a $$\colorbox{green!20}{\displaystyle (1,2)}.$$