Dada uma função \(f(t), t\in \mathbb{R}, \) consideramos a nova função \(g({\color{red} x})=\int_0^{\color{red}x} f(t)\,dt\). Isto é, a função \(g(x)\) nos dá a área sombreada baixo o gráfico de $f(t)$ entre $0$ e $x$ (ver o gráfico abaixo).

O descobrimento fundamental é que $g(x)$ é uma Primitiva da função $f(t).$

Isto é conhecido como O teorema fundamental do Cálculo e foi descoberto no século XVII por Isaac Newton e Gottfried Leibniz.

Vejamos abaixo uma construção da função $g(x)$ e uma comprovação numérica de que realmente $g'(x) = f(x). $

Se \(g(x)=\int_0^x f(t)\,dt\), então

O lado direito é a altura média de \(f\) no intervalo \([x,x+h]\). Quando \(h\) se aproxima de zero, essa média se aproxima da altura \(f(x)\). Assim, \(g'(x)=f(x)\).