Teorema do Valor Médio - Esboços e gráficos

O teorema do valor médio estendido, também chamado de teorema do valor médio de Cauchy, costuma ser formulado assim: sejam \(f,g:[a,b]\to\mathbb{R}\) funções contínuas em \([a,b]\) e deriváveis no intervalo aberto \((a,b)\). Se \(g'(x)\neq 0\) para todo \(x\in(a,b)\), então existe \(\xi\in(a,b)\) tal que

\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.

Para trabalhar numericamente, é mais conveniente escrever o mesmo resultado sem dividir por \(g'(\xi)\). Com as mesmas hipóteses de continuidade e derivabilidade, existe \(\xi\in(a,b)\) tal que

f'(\xi)\bigl(g(b)-g(a)\bigr)= g'(\xi)\bigl(f(b)-f(a)\bigr).

Esta segunda forma evita exigir explicitamente que \(g'(x)\neq 0\) em todo o intervalo e, por isso, é mais estável para construir a visualização. A demonstração segue a mesma ideia: considera-se

h(x)=f(x)\bigl(g(b)-g(a)\bigr)- \bigl(g(x)-g(a)\bigr)\bigl(f(b)-f(a)\bigr)

e aplica-se o teorema de Rolle. Geometricamente, se a curva é dada por

C:[a,b]\to\mathbb{R}^2,\qquad t\mapsto (f(t),g(t)),

então existe um ponto \(C(\xi)\) no qual a tangente à curva é paralela à secante que passa por \(C(a)\) e \(C(b)\).

Texto adaptado do exemplo Extended mean value theorem do JSXGraph.

Sobre a animação abaixo. Arraste os pontos intermediários da curva. A reta secante liga os extremos, enquanto a tangente no ponto \(C(\xi)\) se ajusta para ficar paralela a essa secante.