A fração é imprópria, isto é, o grau do numerador $x$ não é menor que o grau do denominador $x-6$. Podemos fazer o quociente $x \div (x-6)$ mas há uma forma mais simples. Reescrevemos o numerador usando o fator que aparece no denominador:

\[ x=(x-6)+6. \]

Assim,

\[ \frac{x}{x-6}=1+\frac{6}{x-6}. \]

Portanto,

\[ \int \frac{x}{x-6}\,dx = \int 1\,dx + 6\int \frac{1}{x-6}\,dx. \]

Logo,

\[ \colorbox{green!20}{\int \frac{x}{x-6}\,dx = x+6\ln|x-6|+C}. \]