Procuramos constantes \(A\) e \(B\) tais que

\[ \frac{x-9}{(x+5)(x-2)} = \frac{A}{x+5} + \frac{B}{x-2}. \]

Multiplicando por \((x+5)(x-2)\), ficamos com

\[ x-9=A(x-2)+B(x+5). \]

Comparando coeficientes,

\[ A+B=1, \qquad -2A+5B=-9. \]

Da primeira equação, \(A=1-B\). Substituindo na segunda, temos \(B=-1\), e então \(A=2\).

Logo,

\[ \frac{x-9}{(x+5)(x-2)} = \frac{2}{x+5} - \frac{1}{x-2}. \]

Portanto,

\[ \colorbox{green!20}{\int \frac{x-9}{(x+5)(x-2)}\,dx = 2\ln|x+5|-\ln|x-2|+C}. \]