Primeiro fatoramos o denominador:

\[ x^2-bx=x(x-b). \]

Assim, nos pontos onde a expressão está definida,

\[ \frac{ax}{x^2-bx} = \frac{ax}{x(x-b)} = \frac{a}{x-b}. \]

Logo,

\[ \int \frac{ax}{x^2-bx}\,dx = a\int \frac{1}{x-b}\,dx. \]

Portanto,

\[ \colorbox{green!20}{\int \frac{ax}{x^2-bx}\,dx = a\ln|x-b|+C}. \]