Neste exercício, o denominador é um polinômio quadrático que não possui raízes reais. Isto significa que não podemos fatorar o denominador \(x^2+2x+5\) em fatores lineares reais. No entanto, podemos usar uma técnica de integração que envolve a função \(\arctan(x)\) e a separação do numerador em partes que correspondem à derivada do denominador e uma constante. Lembre que a derivada de \(arctan(x)\) é \( \frac{1}{1+x^2} \). Tambem, podemos escrever \(x^2+2x+5=(x+1)^2+4\). Começamos separando no numerador uma parte proporcional à derivada do denominador:

\[ x+4=\frac{1}{2}(2x+2)+3. \]

Assim,

\[ \int \frac{x+4}{x^2+2x+5}\,dx =\frac{1}{2}\int \frac{2x+2}{x^2+2x+5}\,dx +3\int \frac{dx}{(x+1)^2+4}. \]

A primeira integral é logarítmica. Na segunda, usamos \(u=\frac{x+1}{2}\), de modo que \(dx=2\,du\). Então

\[ \int \frac{dx}{(x+1)^2+4}=\frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right). \]

Portanto,

\[ \colorbox{green!20}{ \int \frac{x+4}{x^2+2x+5}\,dx =\frac{1}{2}\ln(x^2+2x+5) +\frac{3}{2}\arctan\left(\frac{x+1}{2}\right)+C }. \]