Como o denominador tem o fator linear \(x\) e o fator quadrático irredutível repetido \(x^2+4\), usamos a decomposição

\[ \frac{1}{x(x^2+4)^2} =\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+4}+\frac{Dx+E}{(x^2+4)^2}. \]

Multiplicando por \(x(x^2+4)^2\), obtemos

\[ 1=A(x^2+4)^2+(Bx+C)x(x^2+4)+(Dx+E)x. \]

Comparando coeficientes, encontramos \(A=\frac{1}{16}\), \(B=-\frac{1}{16}\), \(C=0\), \(D=-\frac{1}{4}\) e \(E=0\). Logo,

\[ \frac{1}{x(x^2+4)^2} =\frac{1}{16x}-\frac{x}{16(x^2+4)}- \frac{x}{4(x^2+4)^2}. \]

Integramos termo a termo:

\[ \int \frac{dx}{x(x^2+4)^2} =\frac{1}{16}\ln|x|- \frac{1}{32}\ln(x^2+4)+\frac{1}{8(x^2+4)}+C. \]

Portanto,

\[ \colorbox{green!20}{ \int \frac{dx}{x(x^2+4)^2} =\frac{1}{16}\ln|x|- \frac{1}{32}\ln(x^2+4)+\frac{1}{8(x^2+4)}+C }. \]