O denominador já está fatorado e possui um fator linear simples, \(x-3\), e um fator linear repetido, \((x-2)^2\). Por isso a decomposição em frações parciais deve incluir uma parcela para \(x-3\) e duas parcelas associadas ao fator repetido \(x-2\):

\[ \frac{x^2+1}{(x-3)(x-2)^2} =\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}. \]

Multiplicando por \((x-3)(x-2)^2\), eliminamos os denominadores e obtemos uma identidade polinomial:

\[ x^2+1=A(x-2)^2+B(x-3)(x-2)+C(x-3). \]

Agora expandimos os termos do lado direito:

\[ x^2+1 =A(x^2-4x+4)+B(x^2-5x+6)+C x-3C. \]

Comparando os coeficientes de \(x^2\), de \(x\) e do termo constante, encontramos o sistema

\[ A+B=1, \qquad -4A-5B+C=0, \qquad 4A+6B-3C=1. \]

A solução desse sistema é \(A=10\), \(B=-9\) e \(C=-5\). Portanto,

\[ \frac{x^2+1}{(x-3)(x-2)^2} =\frac{10}{x-3}-\frac{9}{x-2}-\frac{5}{(x-2)^2}. \]

Integramos termo a termo:

\[ \int \frac{x^2+1}{(x-3)(x-2)^2}\,dx =10\ln|x-3|-9\ln|x-2|+\frac{5}{x-2}+C. \]

No último termo usamos \(\int -5(x-2)^{-2}\,dx=5(x-2)^{-1}\). Assim,

\[ \colorbox{green!20}{ \int \frac{x^2+1}{(x-3)(x-2)^2}\,dx =10\ln|x-3|-9\ln|x-2|+\frac{5}{x-2}+C }. \]