O primeiro passo é fatorar o denominador. Como \(x^3-1\) é uma diferença de cubos, temos

\[ x^3-1=(x-1)(x^2+x+1). \]

O fator \(x-1\) é linear. Já \(x^2+x+1\) não possui raízes reais, pois seu discriminante é \(1-4=-3\). Assim usamos a forma

\[ \frac{1}{x^3-1} =\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}. \]

Multiplicando por \((x-1)(x^2+x+1)\), obtemos

\[ 1=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1). \]

Expandindo e agrupando as potências de \(x\),

\[ 1=(A+B)x^2+(A-B+C)x+(A-C). \]

Comparando coeficientes com o polinômio constante \(1\), encontramos

\[ A+B=0, \qquad A-B+C=0, \qquad A-C=1. \]

Daí \(A=\frac{1}{3}\), \(B=-\frac{1}{3}\) e \(C=-\frac{2}{3}\). Portanto,

\[ \frac{1}{x^3-1} =\frac{1}{3}\frac{1}{x-1} -\frac{x+2}{3(x^2+x+1)}. \]

O primeiro termo já está pronto para integrar. Para o segundo termo, queremos separar uma parte proporcional à derivada do denominador \(x^2+x+1\), que é \(2x+1\). Escrevemos

\[ x+2=\frac{1}{2}(2x+1)+\frac{3}{2}. \]

Assim,

\[ -\frac{x+2}{3(x^2+x+1)} =-\frac{1}{6}\frac{2x+1}{x^2+x+1} -\frac{1}{2}\frac{1}{x^2+x+1}. \]

Para integrar a última fração, completamos o quadrado:

\[ x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}. \]

Logo,

\[ \int \frac{dx}{x^2+x+1} =\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right). \]

Juntando todos os termos, obtemos

\[ \int \frac{1}{x^3-1}\,dx =\frac{1}{3}\ln|x-1|- \frac{1}{6}\ln(x^2+x+1)- \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C. \]

Portanto,

\[ \colorbox{green!20}{ \int \frac{1}{x^3-1}\,dx =\frac{1}{3}\ln|x-1|- \frac{1}{6}\ln(x^2+x+1)- \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)+C }. \]