Cálculo II
Solução
Questão 1
Considere a curva em coordenadas polares $$r=1-2\cos(\theta), \qquad -\frac{\pi}{3}\leq \theta\leq \frac{5\pi}{3},$$ representada na figura abaixo. Escreva uma integral para o cálculo da área sombreada e calcule esse valor. Use que $$\int\cos^2\theta\,d\theta = \int\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta.$$
A área de uma região polar do tipo setor circular é dada por $$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2(\theta)\,d\theta.$$
O laço sombreado é delimitado pelos valores em que $r(\theta)=0$. Como $$1-2\cos(\theta)=0 \iff \cos(\theta)=\frac{1}{2},$$ obtemos $\theta=-\pi/3$ e $\theta=\pi/3$.
Portanto, $$\begin{aligned} A &= \frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3} (1-2\cos\theta)^2\,d\theta \\ &= \frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left(1-4\cos\theta+4\cos^2\theta\right)\,d\theta \\ &= \frac{1}{2}\int_{-\pi/3}^{\pi/3}1\,d\theta -2\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta +2\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos^2\theta\,d\theta. \end{aligned}$$
Usando $\cos^2\theta=(1+\cos(2\theta))/2$, temos $$\begin{aligned} A &= \frac{\pi}{3} -2\left[\sin\theta\right]_{-\pi/3}^{\pi/3} + \int_{-\pi/3}^{\pi/3}(1+\cos(2\theta))\,d\theta \\ &= \frac{\pi}{3} -2\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2}\left[\sin(2\theta)\right]_{-\pi/3}^{\pi/3} \\ &= \pi-2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} = \colorbox{green!20}{\displaystyle \pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}}. \end{aligned}$$
Questão 2
Considere $\vec{a}=\langle -5,12\rangle$ e $\vec{b}=\langle 4,6\rangle$. Encontre $\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b}$.
A projeção de $\vec{b}$ na direção de $\vec{a}$ é $$\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|^2}\vec{a}.$$
Como $$\vec{a}\cdot\vec{b} = (-5)(4)+12(6)=52,$$ e $$\|\vec{a}\|^2=(-5)^2+12^2=169,$$ segue que $$\operatorname{proj}_{\vec{a}}\vec{b} = \frac{52}{169}\langle -5,12\rangle = \colorbox{green!20}{\displaystyle \frac{4}{13}\langle -5,12\rangle}.$$
Questão 3
Ache uma equação do plano que passa pelo ponto $(1,0,2)$ e é perpendicular aos planos $$2x+y-z=2 \qquad\text{e}\qquad x-y+2z=5.$$
Os vetores normais aos planos dados são $$\vec{n}_1=\langle 2,1,-1\rangle, \qquad \vec{n}_2=\langle 1,-1,2\rangle.$$
Como o plano procurado é perpendicular aos dois planos dados, seu vetor normal pode ser tomado como o produto vetorial $\vec{n}_1\times\vec{n}_2$: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \langle 1,-5,-3\rangle.$$
Usando o ponto $P_0=(1,0,2)$, obtemos $$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{r}_0)=0,$$ isto é, $$\langle 1,-5,-3\rangle\cdot \langle x-1,y,z-2\rangle=0.$$
Assim, $$x-1-5y-3z+6=0,$$ ou seja, $$\colorbox{green!20}{\displaystyle x-5y-3z+5=0}.$$
Questão 4
Ache a distância entre os planos $$2x-3y+z=4 \qquad\text{e}\qquad 4x-6y+2z=3.$$
Os planos são paralelos, pois seus vetores normais são $$\vec{n}_1=\langle 2,-3,1\rangle, \qquad \vec{n}_2=\langle 4,-6,2\rangle=2\vec{n}_1.$$
Tomamos um ponto no primeiro plano. Fazendo $y=0$ e $z=0$ em $2x-3y+z=4$, obtemos $x=2$, logo $P=(2,0,0)$.
A distância de $P$ ao plano $4x-6y+2z-3=0$ é $$D= \frac{|4(2)-6(0)+2(0)-3|} {\sqrt{4^2+(-6)^2+2^2}} = \frac{5}{\sqrt{56}} = \colorbox{green!20}{\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{14}}}.$$
Equivalentemente, poderíamos tomar pontos nos dois planos e projetar o vetor que os liga na direção normal aos planos.