Vetores e geometria do espaço

Vetores em $\mathbb{R}^3$

Um vetor $\mathbf{a}=\langle a_1,a_2,a_3\rangle$ possui módulo, direção e sentido. Seu comprimento e seu vetor unitário são

$$\|\mathbf a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$$

$$\widehat{\mathbf{a}}= \frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|},\qquad \mathbf{a}\ne\mathbf{0}.$$

As operações são feitas componente a componente. Dois vetores não nulos são paralelos exatamente quando um é múltiplo escalar do outro: $\mathbf b=\lambda\mathbf a$.

Produto escalar, ângulo e projeção

O produto escalar pode ser calculado de duas maneiras equivalentes:

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$$

$$\mathbf a\cdot\mathbf b=\|\mathbf a\|\,\|\mathbf b\|\cos\theta.$$

A primeira forma usa componentes; a segunda mostra a geometria. Assim, vetores não nulos são ortogonais quando $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$, e

$$\cos\theta=\frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf a\|\,\|\mathbf b\|}, \qquad 0\le\theta\le\pi.$$

$\mathbf a\cdot\mathbf b=\mathbf b\cdot\mathbf a$$\mathbf a\cdot(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\cdot\mathbf b+\mathbf a\cdot\mathbf c$$\mathbf a\cdot\mathbf a=\|\mathbf a\|^2$

Projeção de um vetor sobre outro

$$\operatorname{comp}_{\mathbf a}\mathbf b= \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf a\|},\qquad \operatorname{proj}_{\mathbf a}\mathbf b= \frac{\mathbf a\cdot\mathbf b}{\|\mathbf a\|^2}\mathbf a.$$

A projeção vetorial é a componente de $\mathbf b$ que aponta na direção de $\mathbf a$.

Trabalho realizado por uma força

Se uma força constante $\mathbf F$ desloca um corpo por $\mathbf D$, o trabalho é $W=\mathbf F\cdot\mathbf D$. Por exemplo, uma força de $70\,\mathrm N$ puxa um carrinho por $100\,\mathrm m$ formando $35^\circ$ com a horizontal:

$$W=(70)(100)\cos35^\circ\approx5{,}73\times10^3\,\mathrm J.$$

Produto vetorial

O produto vetorial $\mathbf a\times\mathbf b$ é perpendicular aos dois vetores, com sentido dado pela regra da mão direita. Pelos componentes,

\mathbf a\times\mathbf b= \begin{vmatrix} \mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix} =\langle a_2b_3-a_3b_2,\ a_3b_1-a_1b_3,\ a_1b_2-a_2b_1\rangle.

Sua norma possui uma interpretação geométrica essencial:

$$\|\mathbf a\times\mathbf b\|= \|\mathbf a\|\,\|\mathbf b\|\operatorname{sen}\theta.$$

Portanto, $\mathbf a\times\mathbf b=\mathbf0$ se os vetores não nulos são paralelos. A área do paralelogramo construído sobre eles é $\|\mathbf a\times\mathbf b\|$; a área do triângulo é a metade.

O vetor $\mathbf a\times\mathbf b$ é normal ao plano do paralelogramo.

Produto triplo e volume

O produto misto é o escalar $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$. Seu valor absoluto é o volume do paralelepípedo cujas arestas são os três vetores:

$$V=\left|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)\right| =\left|\det(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c)\right|.$$

O volume é zero exatamente quando os vetores são coplanares. Para um tetraedro com as mesmas três arestas partindo de um vértice, $V_{\mathrm{tetraedro}}=V/6$.

Equações de retas e planos

Retas no espaço

Uma reta é determinada por um ponto $P_0(x_0,y_0,z_0)$ e um vetor diretor não nulo $\mathbf v=\langle a,b,c\rangle$.

$$\mathbf r(t)=\mathbf r_0+t\mathbf v$$

$$x=x_0+at,\quad y=y_0+bt,\quad z=z_0+ct$$

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

A última é a forma simétrica e só deve usar denominadores não nulos. Duas retas no espaço podem ser paralelas, concorrentes ou reversas.

Planos

Um plano é determinado por um ponto $P_0$ e um vetor normal não nulo $\mathbf n=\langle A,B,C\rangle$:

$$\mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$$

O vetor diretor descreve a reta; o vetor normal determina a orientação do plano.

Ângulo entre planos

O ângulo agudo entre dois planos é o ângulo agudo entre seus vetores normais. Se eles são $\mathbf n_1$ e $\mathbf n_2$, então

$$\cos\theta= \frac{|\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2|} {\|\mathbf n_1\|\,\|\mathbf n_2\|},\qquad 0\le\theta\le\frac\pi2.$$

Os planos são paralelos quando suas normais são paralelas e são perpendiculares quando $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2=0$.

Usar o valor absoluto seleciona o ângulo agudo entre os planos.

Exercícios para praticar

Questões originais baseadas nas habilidades destacadas nas seções 12.3, 12.4 e 12.5 do capítulo de referência.

Produto escalar, ângulos e projeções

Calcule o ângulo entre $\mathbf a=\langle1,2,2\rangle$ e $\mathbf b=\langle2,1,-2\rangle$.
Resposta breve
Calculamos $\mathbf a\cdot\mathbf b=(1)(2)+(2)(1)+(2)(-2)=0$. Como os dois vetores são não nulos e seu produto escalar é zero, eles são ortogonais. Portanto, o ângulo entre eles é $\theta=90^\circ$.
Encontre dois vetores unitários ortogonais a $\langle1,1,0\rangle$ no plano $xy$.
Resposta breve
Um vetor $\langle x,y,0\rangle$ ortogonal a $\langle1,1,0\rangle$ deve satisfazer $x+y=0$. Escolhendo $\langle1,-1,0\rangle$ e dividindo por sua norma $\sqrt2$, obtemos os dois vetores unitários $\pm\langle1/\sqrt2,-1/\sqrt2,0\rangle$.
Calcule $\operatorname{proj}_{\mathbf a}\mathbf b$ para $\mathbf a=\langle2,1\rangle$ e $\mathbf b=\langle1,3\rangle$.
Resposta breve
Usamos $\operatorname{proj}_{\mathbf a}\mathbf b=((\mathbf a\cdot\mathbf b)/\|\mathbf a\|^2)\mathbf a$. Como $\mathbf a\cdot\mathbf b=(2)(1)+(1)(3)=5$ e $\|\mathbf a\|^2=2^2+1^2=5$, o fator é $1$. Logo, $\operatorname{proj}_{\mathbf a}\mathbf b=\langle2,1\rangle$.
Uma força de $40\,\mathrm N$ desloca um objeto por $6\,\mathrm m$ fazendo $60^\circ$ com o deslocamento. Calcule o trabalho.
Resposta breve
O trabalho é o produto escalar entre a força e o deslocamento: $W=\|\mathbf F\|\,\|\mathbf D\|\cos\theta$. Assim, $W=(40)(6)\cos60^\circ=(240)(1/2)=120\,\mathrm J$.

Produto vetorial, áreas e volumes

Calcule $\mathbf a\times\mathbf b$ para $\mathbf a=\langle1,2,0\rangle$ e $\mathbf b=\langle0,1,2\rangle$.
Resposta breve
Pelo determinante do produto vetorial, $\mathbf a\times\mathbf b=\langle(2)(2)-(0)(1),\,(0)(0)-(1)(2),\,(1)(1)-(2)(0)\rangle$. Portanto, $\mathbf a\times\mathbf b=\langle4,-2,1\rangle$.
Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores $\mathbf a=\langle1,0,2\rangle$ e $\mathbf b=\langle0,3,0\rangle$.
Resposta breve
A área do paralelogramo é $\|\mathbf a\times\mathbf b\|$. Calculando, $\mathbf a\times\mathbf b=\langle-6,0,3\rangle$. Portanto, $A=\sqrt{(-6)^2+0^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5$.
Decida se os pontos $A(0,0,0)$, $B(1,1,0)$, $C(0,1,1)$ e $D(2,3,1)$ são coplanares.
Resposta breve
Tomando $\overrightarrow{AB}=\langle1,1,0\rangle$, $\overrightarrow{AC}=\langle0,1,1\rangle$ e $\overrightarrow{AD}=\langle2,3,1\rangle$, obtemos $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\langle1,-1,1\rangle$. O produto misto vale $\langle1,-1,1\rangle\cdot\langle2,3,1\rangle=2-3+1=0$. Logo, os quatro pontos são coplanares.
Determine o volume do paralelepípedo gerado por $\langle1,0,1\rangle$, $\langle0,2,0\rangle$ e $\langle1,1,2\rangle$.
Resposta breve
Denotando os vetores por $\mathbf a$, $\mathbf b$ e $\mathbf c$, calculamos $\mathbf b\times\mathbf c=\langle4,0,-2\rangle$. Assim, $V=|\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)|=|(1)(4)+(0)(0)+(1)(-2)|=2$.

Retas e planos

Escreva equações paramétricas da reta que passa por $(1,-1,2)$ e é paralela a $\langle2,1,-1\rangle$.
Resposta breve
A reta tem vetor posição $\mathbf r(t)=\langle1,-1,2\rangle+t\langle2,1,-1\rangle$. Igualando as componentes, obtemos $x=1+2t$, $y=-1+t$ e $z=2-t$, com $t\in\mathbb R$.
Encontre a equação do plano que passa por $(1,0,2)$ e tem normal $\langle2,-1,3\rangle$.
Resposta breve
Usamos $\mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0$. Com $\mathbf n=\langle2,-1,3\rangle$ e $P_0=(1,0,2)$, resulta $2(x-1)-y+3(z-2)=0$. Simplificando, a equação do plano é $2x-y+3z=8$.
Determine se os planos $2x-y+z=1$ e $4x-2y+2z=7$ se interceptam.
Resposta breve
Os vetores normais são $\mathbf n_1=\langle2,-1,1\rangle$ e $\mathbf n_2=\langle4,-2,2\rangle=2\mathbf n_1$, logo os planos são paralelos. Porém, multiplicar a primeira equação por $2$ produziria $4x-2y+2z=2$, e não $7$. Portanto, são planos paralelos distintos e não se interceptam.
Calcule o ângulo agudo entre $x+y=0$ e $x+z=0$.
Resposta breve
As normais são $\mathbf n_1=\langle1,1,0\rangle$ e $\mathbf n_2=\langle1,0,1\rangle$. Logo, $\mathbf n_1\cdot\mathbf n_2=1$ e $\|\mathbf n_1\|=\|\mathbf n_2\|=\sqrt2$. Assim, $\cos\theta=1/(\sqrt2\sqrt2)=1/2$ e o ângulo agudo entre os planos é $\theta=60^\circ$.