Para escrever \(f(t)\) com a função degrau, usamos que \[ \operatorname{sen}(t-\pi)=-\operatorname{sen}(t). \] Assim, \[ f(t)=\operatorname{sen}(t)+u_\pi(t)\operatorname{sen}(t-\pi). \] Portanto \[ F(s)=\frac{1}{s^2+1} + \textrm{e}^{-\pi s}\frac{1}{s^2+1} = \left(1+\textrm{e}^{-\pi s}\right)\frac{1}{s^2+1}. \]

Aplicando a transformada de Laplace na equação diferencial e usando \(y(0)=y'(0)=0\), obtemos \[ \left(s^2+s+\frac{5}{4}\right)Y(s)=F(s). \] Logo \[ Y(s)= \left(1+\textrm{e}^{-\pi s}\right)H(s), \] onde \[ H(s)= \frac{1}{(s^2+1)\left(s^2+s+\frac{5}{4}\right)}. \]

Fazendo frações parciais, \[ H(s)= \frac{16}{17} \left( \frac{s+\frac{1}{2}}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+1} + \frac{\frac{1}{4}}{\left(s+\frac{1}{2}\right)^2+1} \right) - \frac{16}{17} \left( \frac{s-\frac{1}{4}}{s^2+1} \right). \] Portanto \[ h(t)=\mathcal L^{-1}\{H(s)\} = \frac{16}{17}\textrm{e}^{-t/2}\cos(t) + \frac{4}{17}\textrm{e}^{-t/2}\operatorname{sen}(t) - \frac{16}{17}\cos(t) + \frac{4}{17}\operatorname{sen}(t). \]

Como \[ Y(s)=H(s)+\textrm{e}^{-\pi s}H(s), \] o teorema do deslocamento fornece \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle y(t)=h(t)+u_\pi(t)h(t-\pi)}. \]