O sistema Massa-Mola
A posição $u(t)$ (na vertical) de uma massa presa a duas molas corresponde à equação diferencial: $$ \text{(1)} \quad \colorbox{green!20}{ {\color{black} m} \, u'' + {\color{black} \gamma}\, u' + {\color{black} k}\, u ={ \color{black} F_0}\, \cos({\color{black} \omega} t)},\quad {\color{black} m, k, \gamma, F_0, \omega} \, \, \textrm{constantes}$$ que se obtém ao usar a segunda lei de Newton: $$ m \, u''=\sum \text{forças}=\text{Peso} + F_m + F_a + F_e $$ onde:
- \( m \) é a massa do objeto;
- \( F_m = -k \, (\ell + u) \) é a força exercida pela primeira mola, segundo a famosa lei de Hooke. Nesta modelagem o sistema fica em equilíbrio quando o estiramento da mola é $ \ell $, i.e., temos $ \text{Peso} = k\ell, $ desta forma o Peso e o termo $-k\ell$ desaparecem da equação ;
- \( F_a = -\gamma \, u' \) é a força de amortecimento. Uma aproximação mais realista seria $ F_a = -\gamma \, (u')^2 $ mas neste caso a equação não ficaria linear e não seria possível resolve-la manualmente ;
- $ F_e(t) = F_0\, \cos(\omega t) $ é uma força externa, que corresponde no exemplo a uma segunda mola que oscila com uma frequência \( \omega \) e ${F_0}$ e um coeficiente que usamos para modificar a magnitude desta força, por exemplo se $F_0 = 0 $ então o movimento é não forçado ;
- A frequência natural do sistema é $ \color{darkgreen}{\omega_0} = \color{darkgreen}{\sqrt{k/m} }.$ Na animação acima essa frequência foi fixada como $ \omega_0 = 7 $.
A solução da equação diferencial (1) tem a forma $$\colorbox{green!20}{ u(t) = u_h(t) + U_p(t)} $$ onde $u_h(t) = \color{darkgreen}{c_1} u_1(t) + \color{darkgreen}{c_2} u_2(t) $ é a solução geral da equação homogênea associada e $U_p(t) $ é uma solução particular de (1).
As constantes $c_1$ e $c_2$ dependem das condições iniciais $u(t_0)$ e $u'(t_0).$
- Vamos a supor agora que não há amortecimento, i.e., \( \gamma = 0, \) e vamos considerar a equação $$ \colorbox{green!20}{m u'' + k u = F_0 \cos(\omega t)} . $$
Neste caso a solução geral da equação homogênea associada $m\, u'' + k\, u = 0$ é sempre $$ u_h(t) = \color{green}{c_1} \cos(\omega_0\, t) + \color{green}{c_2} \sin(\omega_0\, t),\, \omega_0 = \sqrt{k/m}. $$ Aqui consideramos dois casos:
Se $ \omega_0 \neq \omega, $ então a solução particular de (1) é dada por $$\colorbox{green!20}{ U_p(t) = \frac{F_0\, m}{\omega_0^2 -\omega^2} \, \cos(\omega t)}, $$ usando o método dos coeficientes indeterminados.
Batimentos: Se a frequência da força externa for próxima, mas diferente da frequência natural do sistema (digamos $\omega_0 = 7, \omega = 6.8$), então pode acontecer o fenômeno conhecido como batimentos. Isto acontece por exemplo se as condições iniciais são $ u(0) = u'(0) = 0. $ Neste caso a solução geral da equação (1) é da forma $$ u(t) = A_0 \left( \cos(\omega\, t) - \cos(\omega_0 t)\right) $$ que pode ser escrita como $$\colorbox{green!20}{ u(t) = R(t)\sin\left({\omega_0 + \omega \over 2}\, t\right), \quad R(t) = 2 A_0\sin\left({\omega_0-\omega \over 2}\, t\right) },$$ que corresponde a uma amplitude $R(t)$ oscilante com uma frequência pequena $({\omega_0-\omega})/2. $ O movimento da massa é então uma oscilação $\sin({(\omega_0 + \omega) \over 2}\, t)$, de frequência grande $(\omega_0+\omega)/2$, e que oscila entre os gráficos das funções $-R(t)$ e $+R(t).$
Se $\omega = \omega_0$ então a solução particular de (1) é dada por $$\colorbox{green!20}{ U_p(t) = t\cdot ({F_0\over 2\omega_0}) \sin(\omega_0\, t)}, $$ usando o método dos coeficientes indeterminados.
Ressonância: Portanto se $\omega_0 = \omega,$ a amplitude da solução particular $R(t) = t\cdot ({F_0\over 2\omega_0})$, aumenta linearmente com o passar do tempo. Como a solução geral da equação (1) é dada por $u(t) = u_h(t) + U_p(t)$ onde $$ u_h(t) = \color{green}{c_1} \cos(\omega_0\, t) + \color{green}{c_2} \sin(\omega_0\, t), $$ que permanece limitada quando o tempo vai a infinito, enquanto que $U_p(t)$ assume valores arbitrariamente grandes quando $t\to\infty,$ a amplitude do movimento $u(t)$ aumenta também linearmente com $t$. Assim, de novo temos o fenômeno de ressonância, ilustrado na figura abaixo.
\(u(t)=\cos(7t)+t \text{sen}(7t)\) - Consideramos primeiro o caso com amortecimento ( \( \gamma \neq 0 \) ).
É possível mostrar que se $\gamma > 0,$ a parte homogênea se dissipa com o passar do tempo: $$\lim_{t\to\infty} u_h(t) = 0,$$ isto porque aparece uma exponencial $\text{e}^{-c\gamma t}$ com $c>0,$ que mata a parte homogênea. Sendo assim, a solução $u(t)$ de (1) converge para a solução particular. Por esta razão $u_h(t)$ é chamada de solução transiente e $U_p(t)$ é chamada de solução estacionária ou forçada. Note que as condições iniciais só determinam os parâmetros $\color{green}{c_1}$ e $\color{green}{c_2}$ e portanto as condições iniciais não influenciam o comportamento assintótico da solução (i.e. quando $ t\to\infty$).
Ressonância: Podemos verificar na animação que se o amortecimento for muito pequeno e a frequência externa $\omega$ for muito próxima ou igual à frequência natural $\omega_0,$ então a amplitude do movimento fica grande mesmo fazendo o coeficiente $F_0$ muito pequeno (mas maior que $\gamma$). Isto é chamado de ressonância e é muito importante em projetos de engenharia, pois pequenas ressonâncias podem colapsar uma estrutura.
Lembremos que estamos considerando a equação diferencial $$ m \, u'' + \gamma\, u' + k\, u = F_0 \, \cos(\omega t) $$ onde temos uma força externa da forma $F_e = F_0\cos(\omega t).$ Sendo assim, pelo método de constantes a determinar, a solução particular da equação terá a forma $$ U_p(t)=A\cos(\omega t) + B\text{ sen}(\omega t),$$ para algumas constantes $A$ e $B$ que são achadas derivando e substituindo diretamente na equação diferencial.
Usando identidades trigonometricas, podemos escrever $U_p(t)$ na forma $$ U_p(t) = R \cos(\omega\, t - \delta)$$ para algumas constantes $R$ e $\delta$, que dependem das constantes $A$ e $B.$ De fato, $R$ e $\delta$ dependem indiretamente de todos os parâmetros $ m, k,\gamma, \omega$ do problema. $R$ é a amplitude da solução estacionária e $\delta$ é chamada de fase do movimento.
No queremos entrar em detalhes, mas matemáticamente podemos supor que $R, \delta$ dependem apenas da frequência externa $\omega$ (que será variável) e que o valor da constante de amortecimento $\gamma$ e dos demais parâmetros do problema estão fixados.
O importante é que $R(\omega)$ satisfaz que $$ R(0)= F_0/k > 0 \quad \text{e}\quad R(\infty) = 0. $$ Isto implica que $R(\omega)$ apresenta um ponto de máximo para $\omega \ge 0.$ Seja então $\omega_{max} \ge 0$ a frequência onde $R(\omega)$ tem seu máximo. Se $\omega_{max}$ é um ponto crítico, i.e. $R'(\omega_{max}) = 0, $ descobre-se que $\omega_{max}$ satisfaz a equação $$ \omega_{max}^2 = \omega_0^2 \left(1-\gamma^2/2km \right) \quad \text{(EQ1).} $$ Então $\omega_{max}$ é imaginário se $ \gamma^2 > 2km, $ i.e., $\omega_{max}$ não pode ser um ponto crítico e o máximo acontece em $\omega_{max} = 0$, sendo $R(\omega)$ é uma função decrescente de $\omega$. A amplitude máxima (como função de $\omega$) será $R=F_0/k.$
Agora se $\gamma$ é pequeno, $0 \lt \gamma^2 \lt 2km,$ então existe $\omega_{max} > 0$ que satisfaz a equação (EQ1).
Observa-se que se $\gamma$ for muito pequeno, $\omega_{max} \approx \omega_0$ e pode se mostrar que a amplitude máxima será aproximadamente igual a $$\colorbox{green!20}{R(\omega_{max}) \approx {F_0\over \gamma\, \omega_0}}.$$ Desta forma, se $\gamma$ for muito pequeno, a amplitude do movimento pode ser muito grande, mesmo que a força externa seja pequena, basta que o quociente $F_0/\gamma$ seja muito grande (ver a forma do gráfico de $R(\omega)$ na figura abaixo).Finalmente note que, mesmo que o forçamento for não nulo ($F_0\neq 0$), e houver amortecimento ($\gamma > 0$), então a amplitude $R(\omega)$ do movimento tende para zero quando $\omega\to\infty.$ Isto porque a amplitude da solução particular tende para zero quando $\omega \to\infty.$
Você pode verificar estes fatos digitando os valores de $\omega$ no input acima.