A equação é do tipo linear $\,\colorbox{green!20}{y'+p(t)y=g(t)}\,$ sendo o fator integrante $${\mu(t)=\e^{\int p(t) dt} = \e^{-\int (1/2) dt} = \e^{-t/2} }.$$ Desta forma temos $${ \begin{aligned} \e^{-t/2}\left(y' - \frac{1}{2} y\right) &= \frac{d}{dt} \left(\e^{-t/2} y\right),\\ \frac{d}{dt} \left(\e^{-t/2} y\right) &= 2 \e^{-t/2}\cos(t). \end{aligned} } $$ e por integração indefinida, $${ \e^{-t/2} y = 2 \int \e^{-t/2} \cos(t) dt + C \quad \textrm{(eq1)}. } $$ Precisamos calcular a integral $ {\int \e^{a t} \cos(t) dt}$ com ${a=-1/2.}$ Lembremos a fórmula de integração por partes: $\colorbox{green!20}{\int u\, dv = u\, v - \int v\, du.}$ Portanto fazendo ${u = \e^{at},\, du = a\e^{at}}$ e ${dv = \cos(t) dt, \, v = \sin(t)} $ temos $$\int u\, dv = \int \e^{a t} \cos(t) dt = \e^{at}\sin(t) - a \int \e^{at} \sin(t) dt, \, \textrm{(eq2)} $$ A segunda integral também pode ser integrada por partes usando ${u = \e^{at},\, du = a\e^{at}}$ e ${dv = \sin(t) dt, \, v = -\cos(t)} $ obtendo $${ \int \e^{a t} \sin(t) dt = -\e^{at}\cos(t) + a \int \e^{at} \cos(t) dt, \quad \textrm{(eq3)} } $$ Finalmente substituindo a equação (eq3) na equação (eq2) temos: $${ \int\e^{at}\cos(t)dt = \e^{at}\sin(t) + a\e^{at}\cos(t) -a^2\int\e^{at}\cos(t)dt, }$$ de onde $${(1+a^2) \int \e^{at}\cos(t)dt = \e^{at}\sin(t) + a\e^{at}\cos(t) + C, }$$ obtendo, $${\int\e^{at}\cos(t)dt = (\frac{1}{1+a^2}) \e^{at}\sin(t) + (\frac{a}{1+a^2})\e^{at} \cos(t) + C,} $$ ou, pondo ${a=-1/2}$, $${ \int\e^{-t/2}\cos(t)dt = (\frac{4}{5}) \e^{-t/2}\sin(t) - (\frac{2}{5})\e^{-t/2} \cos(t) + C. }$$ Voltando então para a equação (eq1) temos que $$ { y(t) = (\frac{8}{5}) \sin(t) - (\frac{4}{5}) \cos(t) + C \e^{t/2}. }$$ Pela condição inicial ${y(0)=a}$ temos que $\require{cancel}$ $$ y(0)=a = (\frac{8}{5}) \cancel{\sin(0)}^{\color{red}{0}} - (\frac{4}{5}) \cancel{\cos(0)}^{\color{red}{1}} + C \cancel{\e^{0}}^{\color{red}{1}}= -4/5 + C, $$ isto é, ${C=(4/5 + a)}$. Assim as soluções do problema de valor inicial são da forma: $$ { y(t) = (\frac{8}{5}) \sin(t) - (\frac{4}{5}) \cos(t) + {(\frac{4}{5}+a)}\e^{t/2}. }$$ Gráfico das soluções
O comportamento das soluções depende inteiramente do coeficiente ${(\frac{4}{5}+a)}$:

• Se este número for positivo, isto é, se ${(a \gt -\frac{4}{5})}$ então a solução explode para infinito positivo (por causa da exponencial) quando $t\to\infty$: $\lim_{t\to\infty} y(t)=+\infty.$

• se ${(a \lt -\frac{4}{5})}$ então a solução explode para infinito negativo quando $t\to\infty$: $\lim_{t\to\infty} y(t)=-\infty.$,
• se ${(a = -\frac{4}{5})}$ então a solução se torna $${y(t)=(\frac{8}{5}) \sin(t) - (\frac{4}{5}) \cos(t)} $$ que permanece limitada quando $t\to\infty.$ Isto significa que o módulo de $y(t)$ nunca é maior que um certo número $M>0, $ i.e., $| y(t) | < M \textrm{ para todo } t>0.$
  Observe que o limite $\lim_{t\to\infty} y(t)$ não existe para esta função. O fato da função estar limitada não implica na existência deste limite.
  Note também que quando $t\to -\infty$ a exponencial $\e^{t/2}\to 0$ e todas as soluções $y(t)$ se aproximam muito rápido da solução periódica ${y(t)=(\frac{8}{5}) \sin(t) - (\frac{4}{5}) \cos(t)}.$