Exercício 4:
Seja \(T(t)\) a temperatura de um objeto no instante \(t\), e seja \(T_a\) a temperatura ambiente, considerada constante. A lei de resfriamento de Newton afirma que a taxa de variação da temperatura é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente.
- Escreva a equação diferencial que modela esta situação e resolva o problema de valor inicial \(T(0)=T_0\).
- Suponha que um cadáver foi encontrado com temperatura \(29^\circ C\) em uma sala com temperatura ambiente \(20^\circ C\). Depois de uma hora, a temperatura do corpo era \(24^\circ C\). Admitindo que a temperatura no instante da morte era \(37^\circ C\), estime há quanto tempo a morte aconteceu.
Solução
A hipótese de Newton diz que \(T(t)\) varia proporcionalmente à diferença \(T(t)-T_a\). Como, quando \(T(t)>T_a\), a temperatura deve diminuir, usamos o sinal negativo: \[ \frac{dT}{dt}=-k(T-T_a), \qquad k>0. \] Esta equação é linear de primeira ordem, mas também é separável. De fato, \[ \frac{dT}{T-T_a}=-k\,dt. \] Integrando, \[ \ln|T-T_a|=-kt+C. \] Portanto \[ T(t)-T_a=C\textrm{e}^{-kt}. \] Usando \(T(0)=T_0\), obtemos \(C=T_0-T_a\). Logo \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle T(t)=T_a+(T_0-T_a)\textrm{e}^{-kt}}. \]
No exemplo forense, tomamos \(t=0\) no momento em que o corpo foi encontrado. Assim, \[ T_a=20,\qquad T(0)=29. \] A solução fica \[ T(t)=20+9\textrm{e}^{-kt}. \] Como depois de uma hora a temperatura era \(T(1)=24\), temos \[ 24=20+9\textrm{e}^{-k}. \] Portanto \[ \textrm{e}^{-k}=\frac{4}{9}, \qquad k=\ln\left(\frac{9}{4}\right)\approx 0.81. \]
Agora queremos descobrir o instante \(t_m\), medido em relação ao momento em que o corpo foi encontrado, no qual a temperatura era \(37^\circ C\). Esse instante ocorreu antes de \(t=0\), logo será negativo. Impomos \(T(t_m)=37\): \[ 37=20+9\textrm{e}^{-kt_m}. \] Daí, \[ \textrm{e}^{-kt_m}=\frac{17}{9}. \] Tomando logaritmo, \[ -kt_m=\ln\left(\frac{17}{9}\right), \qquad t_m=-\frac{1}{k}\ln\left(\frac{17}{9}\right). \] Como \(k=\ln(9/4)\), \[ t_m\approx -0.79 \ \textrm{h}. \] Portanto a morte ocorreu aproximadamente \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle 0.79 \ \textrm{h} \approx 47 \ \textrm{minutos}} \] antes do corpo ser encontrado.
No gráfico, o tempo \(t=0\) representa o momento em que o corpo foi encontrado. A linha tracejada indica o instante estimado da morte. A curva segue a função \[ T(t)=20+9\textrm{e}^{-\ln(9/4)t}. \]