Modelos de 1ª Ordem
Solução
Questão 1
Seja $q(t)$ a quantidade de sal no tanque, em kg. Como o volume permanece constante e igual a $10$ litros, a taxa de entrada de sal é $5(1+0.01\sin t)$, enquanto a taxa de saída é $5\frac{q(t)}{10}=\frac{1}{2}q(t)$. Assim, $$\colorbox{green!20}{q'=5(1+0.01\sin t)-\frac{1}{2}q}.$$
Escrevendo na forma linear, $$q'+\frac{1}{2}q=5+\frac{1}{20}\sin t.$$ O fator integrante é $\mu(t)=\textrm{e}^{t/2}$. Logo, $$\frac{d}{dt}\left(\textrm{e}^{t/2}q(t)\right) =5\textrm{e}^{t/2}+\frac{1}{20}\textrm{e}^{t/2}\sin t.$$ Usando $$\int \textrm{e}^{at}\sin t\,dt= \frac{-\textrm{e}^{at}\cos t+a\textrm{e}^{at}\sin t}{1+a^2},$$ com $a=\frac{1}{2}$, obtemos $$q(t)=10-\frac{1}{25}\cos t+\frac{1}{50}\sin t+C\textrm{e}^{-t/2}.$$
Como o tanque começa com água pura, $q(0)=0$. Então $0=10-\frac{1}{25}+C$, isto é, $C=-10+\frac{1}{25}=-\frac{498}{50}$. Portanto, $$\colorbox{green!20}{q(t)=-\frac{498}{50}\textrm{e}^{-t/2} +10-\frac{1}{25}\cos t+\frac{1}{50}\sin t}.$$ $$\begin{aligned} q(t) &=-\frac{498}{50}\textrm{e}^{-t/2}+10 \\ &\quad-\frac{1}{25}\cos t+\frac{1}{50}\sin t. \end{aligned}$$
O limite quando $t\to\infty$ não existe, porque a parte periódica permanece oscilando. A solução é assintótica à função $$\colorbox{green!20}{10-\frac{1}{25}\cos t+\frac{1}{50}\sin t}.$$ Assim, o comportamento limite é uma oscilação em torno do nível médio $\colorbox{green!20}{N=10}$ kg.
Questão 2
Se a população dobra a cada semana sem predadores, então a taxa de crescimento proporcional é $\ln 2$. Como estamos medindo a população em milhões, $100$ mil mosquitos correspondem a $0.1$ milhão. Logo, a equação diferencial é $$\colorbox{green!20}{y'=(\ln 2)y-0.1}.$$
Uma solução particular constante satisfaz $(\ln 2)y_*=0.1$, isto é, $y_*=\frac{0.1}{\ln 2}$. Usando $(\ln 2)^{-1}\approx 1.4$, temos $y_*\approx 0.14$. A solução geral é $$y(t)=y_*+C\textrm{e}^{(\ln 2)t}=y_*+C2^t.$$ Pela condição inicial $y(0)=1$, $C=1-y_*\approx 0.86$. Portanto, $$\colorbox{green!20}{y(t)\approx 0.14+0.86\,2^t}.$$