Equações de 1ª Ordem
Solução
Questão 1
Considere o problema de valor inicial $ y'=\frac{x+2}{y-2}, \qquad y(0)=y_0 < 2. $
- (1,5 pts) Encontre a solução explícita desta equação em função de $y_0$.
- (1,5 pts) Ache o domínio da solução quando $y(0)=1$.
Resolução
item 1. Separando as variáveis obtemos $ (y-2)y'=x+2. $ Integrando em relação a $x$, $ \frac{(y-2)^2}{2}=\frac{(x+2)^2}{2}+C_1, $ ou seja, $ (y-2)^2-(x+2)^2=C. $ Usando $y(0)=y_0$, segue que $C=(y_0-2)^2-4$. Portanto a família implícita é $$ \colorbox{green!20}{(y-2)^2-(x+2)^2=(y_0-2)^2-4}. $$
Isolando $y$ pela fórmula quadrática, $ y(x)=2\pm\sqrt{(x+2)^2+(y_0-2)^2-4}. $ Como $y_0 < 2$, devemos escolher o sinal negativo, pois $y(0)=2-|y_0-2|=y_0.$ Assim a solução explícita é $$\colorbox{green!20}{y(x)=2-\sqrt{(x+2)^2+(y_0-2)^2-4} }.$$
Item 2. Se $y_0=2$, os dois sinais satisfazem a mesma condição inicial. Portanto há duas soluções para o mesmo problema de valor inicial, fenômeno compatível com a singularidade da equação em $y=2$.
Para $y(0)=1$, temos $ (y-2)^2-(x+2)^2=-3, $ e $ y(x)=2-\sqrt{(x+2)^2-3}. $ A raiz está definida quando $ (x+2)^2-3\geq 0. $ Logo, $ x\leq -2-\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x\geq -2+\sqrt{3}. $ Como $x=0$ pertence ao domínio da solução procurada, $$\colorbox{green!20}{I=(-2+\sqrt{3},\infty)}.$$
Questão 2
Considere a equação linear $ y'+\frac{2}{t}y=\frac{2-t}{2t^2}, \qquad y(1)=y_0. $ Encontre o valor de $y_0$ para o qual a solução encosta, mas não atravessa, o eixo $t$.
O fator integrante é $\colorbox{green!20}{\mu(t)=\textrm{e}^{\int \frac{2}{t}\,dt}=t^2}.$ Multiplicando a equação por $t^2$, $\frac{d}{dt}\left(t^2y(t)\right)=1-\frac{t}{2}.$ Integrando, $t^2y(t)=t-\frac{t^2}{4}+C$, e portanto $$\colorbox{green!20}{y(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{4}+\frac{C}{t^2}}.$$ Como $y(1)=y_0$, temos $\colorbox{green!20}{C=y_0+\frac{3}{4}}$.
Para que a solução encoste no eixo $t$, precisamos de $y(t_0)=0,\quad y'(t_0)=0.$ Substituindo na própria equação diferencial obtemos $$y'(t_0) + \frac{2}{t} y(t_0) = 0 =\frac{2-t_0}{2t_0^2}, $$ logo $\colorbox{green!20}{t_0=2}$. Assim, $0=y(2)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{y_0+3/4}{4}$, de onde $$\colorbox{green!20}{y_0=-\frac{7}{4}}.$$ Neste caso, $$\colorbox{green!20}{y(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{4}-\frac{1}{t^2}}.$$
Questão 3
Considere a equação autônoma $ \frac{dy}{dt}=ay+by^2,\qquad y(0)=y_0,\qquad a>0,\quad b>0. $ Esboce o gráfico auxiliar e o gráfico das soluções deste equação, dependendo da condição inicial.
Os gráfico auxiliar é o gráfico de $f(y)=ay+by^2$. Os pontos de equilíbrio são as raízes de $f$, ou seja, $y=0$ e $y=-a/b$. O gráfico de $f$ é uma parábola com concavidade para cima, que corta o eixo $y$ em $y=0$ e $y=-a/b$. Assim, $f(y)<0 $ se $ y\in (-a/b,0), $ e $ f(y)>0 $ se $ y\in (-\infty,-a/b)\cup (0,\infty).$
Os pontos de equilíbrio são $y=0$ e $y=-\frac{a}{b}$. Como $f'(y)=a+2by$, temos $f'(0)=a>0$, logo $y=0$ é instável. Por outro lado, $f'\left(-\frac{a}{b}\right)=-a<0$, logo $y=-a/b$ é estável.
Assim, se $y_0>0$, a solução cresce e explode em tempo finito. Se $y_0=0$, a solução permanece em $0$. Se $y_0<0$ e $y_0\neq -a/b$, a solução tende para $-a/b$ quando $t\to\infty$. Finalmente, se $y_0=-a/b$, a solução é constante.
Questão 4
Um comprador de imóvel não pode pagar mais do que $\$750$ por mês para um financiamento. A taxa de juros é de $10\%$ ao ano, o financiamento é de $20$ anos, os juros são compostos continuamente e os pagamentos são feitos continuamente.
Trabalhando em milhares de reais, a taxa anual de pagamento é $0.75\cdot 12=9$. Se $q(t)$ é a dívida em milhares de reais no tempo $t$, então $\frac{dq}{dt}=0.1q(t)-9$, isto é, $q'-0.1q=-9$. O fator integrante é $\mu(t)=\textrm{e}^{-t/10}$. Logo, $$\frac{d}{dt}\left(\textrm{e}^{-t/10}q(t)\right) =-9\textrm{e}^{-t/10}.$$ Integrando, $\textrm{e}^{-t/10}q(t)=90\textrm{e}^{-t/10}+C$, e portanto $q(t)=90+C\textrm{e}^{t/10}$.
Como $q(0)=q_0$, temos $C=q_0-90$, isto é, $q(t)=90+(q_0-90)\textrm{e}^{t/10}$. Se a dívida é paga em $20$ anos, então $q(20)=0$. Assim, $0=90+(q_0-90)\textrm{e}^{2}$, e $q_0=90-\frac{90}{\textrm{e}^{2}}\approx 78$. Portanto o valor máximo do empréstimo é aproximadamente $\colorbox{green!20}{78.000\text{ reais}}.$