Equações de 1ª Ordem
Solução
Questão 1
Considere o PVI $y'-2y=3\textrm{e}^{-t}+1,\qquad y(0)=y_0.$
- Encontre a solução geral em termos de $y_0$.
- Determine o valor de $y_0$ para que a solução permaneça limitada quando $t\to\infty$.
- Esboce qualitativamente o comportamento das soluções para diferentes valores de $y_0$.
A equação é linear. Um fator integrante é $\colorbox{green!20}{\mu(t)=\textrm{e}^{-2t}}$. Logo, $$\frac{d}{dt}\left(y\textrm{e}^{-2t}\right) =(3\textrm{e}^{-t}+1)\textrm{e}^{-2t} =3\textrm{e}^{-3t}+\textrm{e}^{-2t}.$$ Integrando, $$y\textrm{e}^{-2t} =-\textrm{e}^{-3t}-\frac{1}{2}\textrm{e}^{-2t}+C,$$ e portanto $$y(t)=-\textrm{e}^{-t}-\frac{1}{2}+C\textrm{e}^{2t}.$$ Como $y(0)=y_0$, temos $C=y_0+\frac{3}{2}$, isto é, $$\colorbox{green!20}{y(t)=-\textrm{e}^{-t}-\frac{1}{2} +\left(y_0+\frac{3}{2}\right)\textrm{e}^{2t}}.$$
Para $t\to\infty$, a solução é limitada exatamente quando o coeficiente de $\textrm{e}^{2t}$ é zero. Assim, $$y_0+\frac{3}{2}=0 \quad\Rightarrow\quad \colorbox{green!20}{y_0=-\frac{3}{2}}.$$ Se $y_0>-\frac{3}{2}$, então $y(t)\to+\infty$; se $y_0<-\frac{3}{2}$, então $y(t)\to-\infty$. Para $y_0=-\frac{3}{2}$, a solução limitada é $$\colorbox{green!20}{y(t)=-\textrm{e}^{-t}-\frac{1}{2} \xrightarrow[t\to\infty]{}-\frac{1}{2}}.$$
Questão 2
Considere o PVI $y'=\frac{2-\textrm{e}^x}{3+2y},\qquad y(0)=y_0.$
- Encontre a solução explícita em termos de $y_0$.
- O que ocorre quando $y_0=-\frac{3}{2}$?
- Se $y(0)=0$, determine o valor de $x$ onde a solução atinge seu máximo.
Separando as variáveis, $$(3+2y)\,dy=(2-\textrm{e}^x)\,dx.$$ Integrando, $$3y+y^2=2x-\textrm{e}^x+C.$$ Usando $y(0)=y_0$, obtemos $C=y_0^2+3y_0+1$. Portanto, $$\colorbox{green!20}{y^2+3y =2x-\textrm{e}^x+y_0^2+3y_0+1}.$$ Pela fórmula quadrática, $$\colorbox{green!20}{y(x)=-\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{9+4\left(2x-\textrm{e}^x +y_0^2+3y_0+1\right)}}.$$
Quando $y_0=-\frac{3}{2}$, o denominador $3+2y$ é zero no ponto inicial. Portanto a equação diferencial não define uma derivada finita em $x=0$; geometricamente, a direção da solução é vertical nesse ponto.
Para $y(0)=0$, a relação implícita fica $$\colorbox{green!20}{y^2+3y=2x-\textrm{e}^x+1}.$$ Um extremo ocorre quando $y'(x)=0$. Pela própria EDO, $$\frac{2-\textrm{e}^x}{3+2y}=0 \quad\Rightarrow\quad 2-\textrm{e}^x=0 \quad\Rightarrow\quad \colorbox{green!20}{x=\ln 2}.$$ Como $2-\textrm{e}^x$ muda de positivo para negativo em $x=\ln 2$, a solução com $y(0)=0$ atinge um máximo nesse ponto.
Questão 3
O fator integrante é $$\colorbox{green!20}{\mu(t)=\textrm{e}^{\int 2/t\,dt}=t^2}.$$ Multiplicando a equação por $t^2$, $$\frac{d}{dt}(t^2y)=\frac{2-t}{2}.$$ Integrando, $$t^2y=t-\frac{t^2}{4}+C,$$ ou seja, $$\colorbox{green!20}{y(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{4} +Ct^{-2}}.$$ Como $y(1)=y_0$, temos $C=y_0-\frac{3}{4}$. Assim, $$\colorbox{green!20}{y(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{4} +\left(y_0-\frac{3}{4}\right)t^{-2}}.$$
Se a solução encosta mas não atravessa o eixo $t$ em algum $t_0>0$, então $y(t_0)=0$ e $y'(t_0)=0$. Substituindo na EDO, $$0+\frac{2}{t_0}\cdot 0=\frac{2-t_0}{2t_0^2},$$ logo $\colorbox{green!20}{t_0=2}$. Usando $y(2)=0$, $$0=\frac{1}{2}-\frac{1}{4} +\frac{1}{4}\left(y_0-\frac{3}{4}\right),$$ de onde $$\colorbox{green!20}{y_0=-\frac{1}{4}}.$$
Questão 4
Trabalhando em milhares de reais, a taxa anual de pagamento é $P=600\cdot 12=7200$ reais/ano, isto é, $P=7{,}2$ mil/ano. Se $q(t)$ é a dívida em milhares de reais, então $$\colorbox{green!20}{q'(t)=0{,}08q(t)-7{,}2,\qquad q(0)=q_0,\quad q(15)=0}.$$
A equação linear é $q'-0{,}08q=-7{,}2$. Multiplicando pelo fator integrante $\textrm{e}^{-0{,}08t}$, $$\frac{d}{dt}\left(q\textrm{e}^{-0{,}08t}\right) =-7{,}2\textrm{e}^{-0{,}08t}.$$ Logo, $$q(t)=\frac{7{,}2}{0{,}08}+C\textrm{e}^{0{,}08t} =90+C\textrm{e}^{0{,}08t}.$$ Como $q(0)=q_0$, temos $C=q_0-90$.
Usando a condição $q(15)=0$, $$0=90+(q_0-90)\textrm{e}^{0{,}08\cdot 15}.$$ Portanto, $$\colorbox{green!20}{q_0=90\left(1-\textrm{e}^{-1{,}2}\right)} \approx 90(1-0{,}3)=63.$$ Assim, o valor máximo do empréstimo é aproximadamente $$\colorbox{green!20}{63\text{ mil reais}}.$$