$\def\R{\mathbb R}$ Separamos as variáveis $$ {2(y-1)\, dy = (3x^2+4x+2)\, dx} $$ e integramos a ambos lados, obtendo que as soluções $y=f(x)$ da equação diferencial moram implícitamente nas curvas $$ { y^2-2y = x^3+2x^2+2x+C} \quad \textrm{(eq1)} $$ com $C$ variando em $\R.$ Assim, as soluções da equação são as curvas de nível da função Ver Gráfico
$${z=V(x,y) = y^2-2y -x^3-2x^2-2x}.$$ Usando a condição inicial $x=0, y=-1$ na equação (eq1) obtemos que $1-2(-1)=1+2=C$, isto é, a solução do problema de valor inicial (PVI) mora implícitamente na curva de nível ${V(x,y)=3}$. Em geral não é possível achar a solução de forma explícita $y=f(x).$ No caso presente, entretanto, é possível obter a solução explícita do PVI. Chamamos ${\Delta = x^3+2x^2+2x+3}$ e colocamos $y$ em evidência na equação ${y^2-2y-\Delta =0}.$ Isto é, $$ {y = \frac{-(-2)\pm \sqrt{(-2)^2 - 4\Delta}}{2} = 1\pm\sqrt{x^3+2x^2+2x+4}}.$$ Assim, no gráfico da curva ${y^2-2y = x^3+2x^2+2x+3}$ se encontram escondidas duas funções. Ver Gráfico
Como queremos que $y(0)=-1,$ precisamos tomar sinal de "menos", isto é, a solução do PVI é dada por ${y=1-\sqrt{x^3+2x^2+2x+4}}.$ Notemos que ${x^3+2x^2+2x+4 = (x+2)(x^2+4)}$ e portanto o polinômio ${p(x)=x^3+2x^2+2x+4}$ só tem uma única raiz real $x=-2$ e é fácil ver que $p(x) \ge 0$ somente se $x \ge -2,$ assim nossa solução tem domínio $$ \textrm{Domínio } = \{x\in\R: x\ge -2 \} = [-2,\infty). $$