$\def\R{\mathbb R}$ Separando as variáveis, $ { (3y^2-6y) \, dy = (1+ 3x^2) \, dx},$ e integrando a ambos lados, obtemos que as soluções $y=f(x)$ da equação diferencial moram implícitamente nas curvas $$ { y^3-3y^2 = x^3+x+C} \quad\textrm{(eq1)}$$ com $C$ variando em $\R.$ Dito de outra forma, as soluções da equação moram nas curvas de nível da função: Ver figura $${z=V(x,y) = y^3-3y^2 -x^3-x}. $$
Usando a condição inicial $x=0, y=1$ em (eq1) obtemos que $C=-2,$ ou seja a solução do problema de valor inicial (PVI) mora implícitamente na curva de nível $${y^3-3y^2 - x^3-x = -2}\quad \textrm{(eq2)}.$$ Neste caso é muito complicado, embora possível, achar a solução de forma explícita $y=f(x).$ Para achar o intervalo de definição da solução do PVI, precisamos achar o maior intervalo, que contenha $x=0$, e onde a derivada $dy/dx$ esteja bem definida. Isto é, precisamos determinar os valores de $x$ e $y$ onde ${\frac{dy}{dx} = \frac{1+3x^2}{3y^2-6y}}$, não existe. Isto acontece quando $y=0$ ou $y=2.$ Para achar os valores de $x$ substituimos $y$ na equação (eq2). Por exemplo se ${y=0}$ temos ${0 = x^3+x-2}$. Como determinar os valores de $x$ que satisfazem esta equação?

Ele viveu num momento de turbulência política na França sendo um acalorado ativista político que não hesitava em se envolver em situações perigosas, sendo preso varias vezes. Ele ainda conseguiu ser expulso da École Normale Supérieure, onde era aluno, praticamente acabando sua carreira matemática. As razões do duelo de pistola não estão completamente claras mas aparentemente estão relacionadas com um caso amoroso. De acordo com seu primo, Gabriel Demante, Galois teria lhe dito numa carta escrita pouco antes do duelo "eu sou vítima de uma coquete infame e seus dois idiotas" (veja por exemplo a página de Wikipedia sobre Galois).

Usaremos o seguinte teorema matemático que nos permite achar as raizes racionais de um polinômio se elas existirem.

Não tentaremos demostrar este resultado nestas notas, mas incentivamos o leitor a achar uma prova por si próprio. É importante frisar que $p(x)$ pode não ter nenhuma raiz racional e nesse caso o teorema não diz nada sobre as raizes de $p(x).$

• Para ${y=0}$ nossa esperança é que ${p(x) = x^3+x-2}$ tenha pelo menos uma raiz racional. Pelo teorema se $x=p/q$ é uma raiz racional de $p(x)$ então $p$ é um divisor de $-2$ e $q$ é um divisor de $1$. Isto nos deixa com as possíveis raizes racionais $ x= \pm 1, \pm 2.$ Testando cada uma delas descobrimos que $x=1$ é raiz de $p(x)$. Isto significa que o monômio $(x-1)$ é um divisor de $p(x),$ de fato podemos mostrar que ${p(x) = x^3+x-2 = (x-1)(x^2+x+2)}$. Comprovamos fácilmente que $x^2+x+2$ não tem raizes reais. Assim $x=1$ é a única raiz real de $p(x),$ o que implica que a curva $y^3-3y^2 - x^3-x = -2$ intercepta o eixo "x" únicamente no ponto $(1,0).$
• Para ${y=2}$ devemos achar as raizes de ${q(x)=x^3+x+2.}$ Usando de novo o teorema temos que as possíveis raizes racionais deste polinômio são $x=\pm1, \pm 2.$ Testando descobrimos que $x=-1$ é uma raiz e que $q(x)= (x+1)(x^2+x-2)$ onde $x^2+x-2$ não tem raizes reais. Portanto a curva $y^3-3y^2 - x^3-x = -2$ intercepta a reta $y=2$ únicamente no ponto $(-1,2).$