Exercício 3:
Solução
Separando as variáveis, $ { (3+2y) \, dy = (2-\exp(x)) \, dx},$ e integrando a ambos lados, obtemos que as soluções $y=f(x)$ da equação diferencial moram nas curvas de nível da função $$ {V(x,y) = y^2+3y-2x + \exp(x)}.$$ (ver figura). Neste caso é possível achar a solução explícita do PVI. Observe que podemos isolar $y$ na equação $${y^2+3y-2x + \exp(x) -C =0} $$ fazendo ${\Delta = \exp(x) - 2x -C}$ e usando a fórmula quadrática, chegando-se a
$$ y = {-3\pm\sqrt{9-4\Delta}\over 2} = {-3\pm\sqrt{(9-4C)+8x-4\e^x}\over 2}, \textrm{(eq1)}$$ Vemos que a curva de nível $V(x,y)=C$ esconde duas funções $y=f(x).$ Para verificar a condição inicial $x=0, y=0,$ precisamos tomar sinal de "mais" e o valor de $C$ deve ser ${C=-1}.$ Portanto a solução explícita do problema de valor inicial é $${ y = \frac{-3 +\sqrt{(13+8x)-4\e^x}}{2}} \quad\textrm{(eq2).}$$
Para determinar onde esta função atinge seu máximo precisamos encontrar os pontos críticos, i.e., os valores de $x$ onde $y'(x) = 0.$ Podemos usar diretamente na expressão explícita de $y(x)$ na equação (eq2), mas é mais simples é olhar para a expressão de $y'(x) = (2-\e^x)/(3+2y) = 0.$ Concluimos fácilmente que $y'(x)=0$ se e somente se ${x= \ln(2)\approx 0.69.}$
Para determinar que se trata de um máximo podemos usar o critério da segunda derivada na equação (eq1) mas isto sería bastante trabalhoso.
É mais fácil fazer o seguinte. Note que $y(x)$ é positivo quando $x=\ln(2)$, logo por continuidade, $y(x)>0$ para $x$ próximo de $\ln(2).$
Portanto o denominador $3+2y$ da derivada $dy/dx$ é positivo perto de $x=\ln(2)$ e o sinal da derivada depende inteiramente do numerador $2-\e^x.$ É fácil ver então que $y'(x) \gt 0$ se $ x \lt \ln(2)$ e $y'(x) \lt 0$ se $ x \gt \ln(2),$ isto é, a derivada $y'(x)$ esta decrescendo ao passar por $x=\ln(2),$ o que implica que $y(x)$ passa por um máximo em ${x=\ln(2).}$
Uma outra observação é que a derivada $y'(x)$ não está bem definida para $y=-3/2,$ e podemos ver na figura que é sobre esta reta que as curvas de nível são separadas em duas soluções da equação diferencial. Sobre o domínio da solução do PVI : Vemos na equação (eq1) que $y(x)$ estará definida para valores de $x$ tais que ${ (13 + 8x)-4\exp(x) \ge 0. }$ Na figura podemos notar que aproximadamente no intervalo ${[-1.5, 1.97]}$ a função $y=13+8x$ está acima de $y=4\exp(x)$ e portanto $y(x)$ está bem definida nesse intervalo.
Notemos também que não é possível resolver explícitamente a equação ${ (13 + 8x)-4\exp(x) = 0, }$ precisamos usar algum software para aproximar numéricamente os valores de $x$.
Para que valor da constante $C$ a curva de nível $V(x,y)=C$ fica reduzida a um ponto? Justifique.