Começamos com a parte física. Imagine uma partícula caindo livremente de uma altura \(h\), partindo do repouso. Tomando o sentido para baixo como positivo, a velocidade depois de um tempo \(\tau\) é \[ v(\tau)=g\tau. \] A distância percorrida nesse tempo é \[ h=\frac{1}{2}g\tau^2. \] Logo o tempo necessário para cair uma altura \(h\) é \[ \tau=\sqrt{\frac{2h}{g}}. \] Portanto, a velocidade ao final da queda é \[ v=g\tau =g\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{2gh}. \] Aplicando esta ideia ao líquido na saída do dreno, obtemos a lei de Torricelli: \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle v(t)=\sqrt{2g h(t)}}. \]

Agora escrevemos o volume de líquido acima do dreno como função da altura. Se \(A(s)\) é a área da seção reta do tanque na altura \(s\), então \[ V(h)=\int_0^h A(s)\,ds. \] Como \(h=h(t)\), pela regra da cadeia temos \[ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dh}\frac{dh}{dt} = A(h)\frac{dh}{dt}. \]

Por outro lado, o volume que sai pelo dreno por unidade de tempo é aproximadamente \[ \alpha a\,v(t), \] onde \(a\) é a área geométrica do dreno e \(\alpha\) corrige o fato de que o jato efetivo de líquido é menor que a abertura ideal. Como o volume dentro do tanque diminui, esta taxa entra com sinal negativo: \[ \frac{dV}{dt}=-\alpha a\,v(t). \] Usando \(v(t)=\sqrt{2g h(t)}\), chegamos a \[ A(h)\frac{dh}{dt}=-\alpha a\sqrt{2gh}. \] Assim, a altura do líquido satisfaz a equação separável \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle A(h)\dfrac{dh}{dt}=-\alpha a\sqrt{2gh}}. \]

No caso particular em que o tanque tem seção reta constante \(A(h)=A\), a equação fica \[ \frac{dh}{dt} = -\frac{\alpha a\sqrt{2g}}{A}\sqrt{h}. \] Separando as variáveis, \[ \frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{\alpha a\sqrt{2g}}{A}\,dt. \] Integrando e usando \(h(0)=h_0\), \[ 2\sqrt{h} = 2\sqrt{h_0} - \frac{\alpha a\sqrt{2g}}{A}t. \] Portanto \[ \sqrt{h(t)} = \sqrt{h_0} - \frac{\alpha a\sqrt{2g}}{2A}t, \] isto é, \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle h(t)= \left(\sqrt{h_0} - \dfrac{\alpha a\sqrt{2g}}{2A}t\right)^2}. \]

Esta fórmula vale enquanto a expressão dentro do parêntese for positiva. O tempo de esvaziamento é obtido impondo \(h(t)=0\): \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle T= \dfrac{2A\sqrt{h_0}}{\alpha a\sqrt{2g}}}. \]