Exercício 1
Uma massa de \(100\,\mathrm{g}\) estica uma mola em \(5\,\mathrm{cm}\). Se a massa é colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio, com velocidade inicial apontando para baixo de \(10\,\mathrm{cm/s}\), e se não há amortecimento, encontre a posição \(u(t)\) como função do tempo e calcule o período do movimento.
Solução
Vamos medir \(u(t)\) a partir da posição de equilíbrio, tomando o sentido positivo para baixo. Como não há amortecimento nem força externa, o modelo é
\[ m u'' + k u = 0. \]
A massa é \(m=100\,\mathrm{g}\). Como ela estica a mola em \(5\,\mathrm{cm}\), no equilíbrio temos
\[ kL = mg. \]
Usando centímetros e gramas, \(g=980\,\mathrm{cm/s^2}\) e \(L=5\,\mathrm{cm}\). Portanto,
\[ \frac{k}{m} = \frac{g}{L} = \frac{980}{5} = 196. \]
Assim,
\[ u'' + 196u = 0. \]
Logo \(\omega=\sqrt{196}=14\), e a solução geral é
\[ u(t)=A\cos(14t)+B\sin(14t). \]
Como a massa parte da posição de equilíbrio,
\[ u(0)=0. \]
Daí \(A=0\). Além disso, a velocidade inicial aponta para baixo e o sentido positivo foi escolhido para baixo, então
\[ u'(0)=10\,\mathrm{cm/s}. \]
Como
\[ u'(t)=14B\cos(14t), \]
obtemos
\[ 14B=10, \qquad B=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}. \]
Portanto, a posição da massa é
\[ \colorbox{green!20}{u(t)=\frac{5}{7}\sin(14t)\,\mathrm{cm}}. \]
O período é
\[ T=\frac{2\pi}{\omega} =\frac{2\pi}{14} =\frac{\pi}{7}. \]
Assim,
\[ \colorbox{green!20}{T=\frac{\pi}{7}\,\mathrm{s}}. \]