Primeiro resolvemos a equação homogênea associada,

\[ u''+9u=0. \]

A equação característica é

\[ r^2+9=0, \qquad r=\pm 3i. \]

Portanto, a solução geral da equação homogênea é

\[ u_h(t)=c_1\cos(3t)+c_2\sin(3t). \]

Agora procuramos uma solução particular para a equação não homogênea. Como o termo do lado direito é uma combinação trigonométrica de frequência \(2\), tentamos uma solução particular da forma

\[ u_p(t)=A\cos(2t)+B\operatorname{sen}(2t). \]

Derivando duas vezes,

\[ u_p''(t)=-4A\cos(2t)-4B\operatorname{sen}(2t). \]

Substituindo \(u_p\) na equação \(u''+9u=\cos(2t)\), obtemos

\[ -4A\cos(2t)-4B\operatorname{sen}(2t) +9A\cos(2t)+9B\operatorname{sen}(2t) = \cos(2t). \]

Assim,

\[ 5A\cos(2t)+5B\operatorname{sen}(2t)=\cos(2t). \]

Comparando os coeficientes de \(\cos(2t)\) e \(\operatorname{sen}(2t)\), obtemos

\[ 5A=1, \qquad 5B=0. \]

Portanto,

\[ A=\frac{1}{5}, \qquad B=0. \]

Logo,

\[ u_p(t)=\frac{1}{5}\cos(2t). \]

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução homogênea com uma solução particular. Portanto,

\[ \colorbox{green!20}{u(t)=c_1\cos(3t)+c_2\sin(3t)+\frac{1}{5}\cos(2t)}. \]