Equações de 2ª Ordem - Exercício 3

Exercício 3

Sejam $y_1$ e $y_2$ duas soluções de uma equação diferencial da forma $y''+p(t)y'+q(t)y=0$ no intervalo $I=(0,\infty)$, onde $p(t)$ e $q(t)$ são contínuas em $I$. Suponha que $y_1(1)=0$ e $y_2(1)=0$. Pode $\{y_1,y_2\}$ ser um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo?

Solução

Não. Para que $\{y_1,y_2\}$ seja um conjunto fundamental de soluções em $I$, as duas soluções precisam ser linearmente independentes em todo o intervalo. Segundo o visto no curso, para que isto aconteça, o Wronskiano $W(y_1, y_2) \neq 0$ em $I$:

W(y_1,y_2)(t) = y_1(t)y_2'(t)-y_1'(t)y_2(t) \neq 0, \quad \forall t \in I.

Como $1\in I$, podemos calcular o Wronskiano em $t=1$. Usando as hipóteses $y_1(1)=0$ e $y_2(1)=0$, obtemos

W(y_1,y_2)(1) = y_1(1)y_2'(1)-y_1'(1)y_2(1) = 0\cdot y_2'(1)-y_1'(1)\cdot 0 = 0.

Portanto, elas formam um conjunto fundamental de soluções em $I$.

\colorbox{green!20}{\text{Logo, }\{y_1,y_2\}\text{ não pode ser um conjunto fundamental em }I.}