Vamos medir \(u(t)\) a partir da posição de equilíbrio, tomando o sentido positivo para baixo. Como o sistema tem amortecimento viscoso e não há força externa, o modelo é

\[ m u''+\gamma u'+ku=0. \]

Vamos trabalhar em unidades do SI, escrevendo \(u(t)\) em metros. A massa é \(m=1\,\mathrm{kg}\), e a constante de amortecimento é \(\gamma=40\,\mathrm{N\cdot s/m}\). Portanto, o modelo é

\[ u''+40u'+ku=0. \]

Para achar \(k\), usamos o equilíbrio estático. A massa de \(1\,\mathrm{kg}\) tem peso \(9{,}8\,\mathrm{N}\), e esse peso estica a mola em \(2\,\mathrm{cm}=0{,}02\,\mathrm{m}\). Portanto,

\[ k=\frac{9{,}8}{0{,}02} = 490\,\mathrm{N/m}. \]

Portanto, a equação diferencial fica

\[ u''+40u'+490u=0. \]

A equação característica é

\[ r^2+40r+490=0. \]

Logo,

\[ r= \frac{-40\pm\sqrt{40^2-4\cdot 490}}{2} = -20\pm 3\sqrt{10}\,i. \]

Neste caso o sistema é subamortecido. Escrevendo \(\omega=3\sqrt{10}\), a solução geral é

\[ u(t)= \textrm{e}^{-20t} \left( A\cos(\omega t) + B\operatorname{sen}(\omega t) \right). \]

A massa é puxada \(10\,\mathrm{cm}=0{,}10\,\mathrm{m}\) para baixo e depois solta. Logo, tomando o sentido positivo para baixo,

\[ u(0)=0{,}10, \qquad u'(0)=0. \]

Da condição \(u(0)=0{,}10\), obtemos

\[ A=0{,}10. \]

Derivando a solução geral,

\[ u'(0)=-20A+B\omega. \]

Como \(u'(0)=0\), \(A=0{,}10\) e \(\omega=3\sqrt{10}\), temos

\[ -20(0{,}10)+B(3\sqrt{10})=0, \qquad B=\frac{2}{3\sqrt{10}}. \]

Portanto, a posição da massa é

\[ \colorbox{green!20}{ u(t)= \textrm{e}^{-20t} \left( 0{,}10\cos(3\sqrt{10}\,t) + \frac{2}{3\sqrt{10}}\operatorname{sen}(3\sqrt{10}\,t) \right)\,\mathrm{m} }. \]