Primeiro resolvemos a equação homogênea associada,

\[ u''+\omega_0^2u=0. \]

A equação característica é

\[ r^2+\omega_0^2=0, \]

e portanto \(r=\pm i\omega_0\). Assim,

\[ u_h(t)=c_1\cos(\omega_0t)+c_2\operatorname{sen}(\omega_0t). \]

Como o termo do lado direito é trigonométrico, e estamos supondo \(\omega_0\neq\omega\), procuramos uma solução particular da forma

\[ u_p(t)=A\cos(\omega t)+B\operatorname{sen}(\omega t). \]

Então

\[ u_p''(t)= -A\omega^2\cos(\omega t) - B\omega^2\operatorname{sen}(\omega t). \]

Substituindo \(u_p\) na equação diferencial, obtemos

\[ A(\omega_0^2-\omega^2)\cos(\omega t) + B(\omega_0^2-\omega^2)\operatorname{sen}(\omega t) = F_0\operatorname{sen}(\omega t). \]

Comparando os coeficientes de \(\cos(\omega t)\) e de \(\operatorname{sen}(\omega t)\), temos

\[ A(\omega_0^2-\omega^2)=0, \qquad B(\omega_0^2-\omega^2)=F_0. \]

Como \(\omega_0\neq\omega\), segue que

\[ A=0, \qquad B=\frac{F_0}{\omega_0^2-\omega^2}. \]

Portanto, uma solução particular é

\[ u_p(t)= \frac{F_0}{\omega_0^2-\omega^2}\operatorname{sen}(\omega t). \]

Somando a solução homogênea e a solução particular, a solução geral é

\[ \colorbox{green!20}{ u(t)= c_1\cos(\omega_0t) + c_2\operatorname{sen}(\omega_0t) + \frac{F_0}{\omega_0^2-\omega^2} \operatorname{sen}(\omega t) }. \]