A equação homogênea associada é

\[ u''+\omega_0^2u=0. \]

Como antes, a equação característica é

\[ r^2+\omega_0^2=0, \]

e a solução homogênea é

\[ u_h(t)=c_1\cos(\omega_0t)+c_2\operatorname{sen}(\omega_0t). \]

Agora o termo \(F_0\operatorname{sen}(\omega_0t)\) tem a mesma frequência natural do sistema. Portanto, estamos no caso ressonante: \(\operatorname{sen}(\omega_0t)\) já aparece na solução homogênea. Por isso multiplicamos a tentativa usual por \(t\), procurando uma solução particular da forma

\[ u_p(t)= t\left( A\cos(\omega_0t) + B\operatorname{sen}(\omega_0t) \right). \]

Usando esta forma e substituindo em \(u''+\omega_0^2u=F_0\operatorname{sen}(\omega_0t)\), obtemos

\[ u_p''+\omega_0^2u_p = 2B\omega_0\cos(\omega_0t) - 2A\omega_0\operatorname{sen}(\omega_0t). \]

Comparando com \(F_0\operatorname{sen}(\omega_0t)\), temos

\[ 2B\omega_0=0, \qquad -2A\omega_0=F_0. \]

Assim,

\[ B=0, \qquad A=-\frac{F_0}{2\omega_0}. \]

Logo, uma solução particular é

\[ u_p(t)= -\frac{F_0}{2\omega_0}t\cos(\omega_0t). \]

Portanto, a solução geral é

\[ \colorbox{green!20}{ u(t)= c_1\cos(\omega_0t) + c_2\operatorname{sen}(\omega_0t) - \frac{F_0}{2\omega_0}t\cos(\omega_0t) }. \]

O fator \(t\) no último termo é a assinatura da ressonância: a amplitude da resposta particular cresce linearmente com o tempo.