A equação homogênea associada é \[ y''+9y=0, \] cuja equação característica é \(r^2+9=0\). Logo as soluções da parte homogênea são combinações de \(\cos(3t)\) e \(\operatorname{sen}(3t)\).

O termo não homogêneo é a soma de dois termos: \[ t^2\textrm{e}^{3t} \qquad\textrm{e}\qquad 6. \] Para \(t^2\textrm{e}^{3t}\), usamos uma tentativa da forma \[ \textrm{e}^{3t}(At^2+Bt+C). \] Para o termo constante \(6\), usamos uma constante \(D\). Como \(0\) não é raiz da equação característica, não há ressonância com a solução homogênea.

Portanto uma forma adequada é \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle Y_p(t)=\textrm{e}^{3t}(At^2+Bt+C)+D}. \]