Equações de 2ª Ordem
Solução
Questão 1
A equação característica é $4r^2-1=0$, logo $r=\pm \frac{1}{2}$. Portanto, $$y(t)=C_1\textrm{e}^{t/2}+C_2\textrm{e}^{-t/2}.$$ Das condições iniciais, $$C_1+C_2=2,\qquad \frac{1}{2}C_1-\frac{1}{2}C_2=\beta.$$ Assim $C_1=1+\beta$ e $C_2=1-\beta$, isto é, $$y_\beta(t)=(1+\beta)\textrm{e}^{t/2}+(1-\beta)\textrm{e}^{-t/2}.$$
Para que $y(t)\to 0$, o termo crescente $\textrm{e}^{t/2}$ deve desaparecer: $1+\beta=0$. Logo, $$\colorbox{green!20}{\beta=-1}.$$ Para que $y(t)\to -\infty$, o coeficiente do termo crescente deve ser negativo, isto é, $1+\beta<0$. Portanto, $$\colorbox{green!20}{\beta \lt -1}.$$ Por outro lado, para $\beta \gt -1$, a solução $y(t)$ cresce exponencialmente e diverge para $+\infty$.
Questão 2
A equação característica é $r^2-1=0$, logo $y(t)=C_1\textrm{e}^{t}+C_2\textrm{e}^{-t}$. As condições iniciais dão $$C_1+C_2=\frac{5}{4},\qquad C_1-C_2=-\frac{3}{4}.$$ Portanto $C_1=\frac{1}{4}$ e $C_2=1$. Assim, $$\colorbox{green!20}{y(t)=\frac{1}{4}\textrm{e}^{t}+\textrm{e}^{-t} =\frac{1}{4}\textrm{e}^{-t}(4+\textrm{e}^{2t})}.$$
Para encontrar o mínimo, calculamos $y'(t)=\frac{1}{4}\textrm{e}^{t}-\textrm{e}^{-t}$. A condição $y'(t)=0$ implica $\frac{1}{4}\textrm{e}^{t}=\textrm{e}^{-t}$, ou seja, $\textrm{e}^{2t}=4$. Logo, $$\colorbox{green!20}{t_m=\log 2}.$$ Como $y''(t_m)=y(t_m)>0,$ pela propria equação, trata-se de um mínimo.
Questão 3
Como $f(t)=t^2$, temos $f'(t)=2t$. O wronskiano é $$W(f,g)=fg'-f'g=t^2g'-2tg.$$ Dividindo por $t^2$, $$g'-\frac{2}{t}g=t^2\textrm{e}^{t}.$$ Esta é uma equação linear de primeira ordem para $g$. O fator integrante é $$\mu(t)=\textrm{e}^{\int -2/t\,dt}=t^{-2}.$$ Logo, $$\frac{d}{dt}\left(t^{-2}g(t)\right)=\textrm{e}^{t}.$$ Integrando, $t^{-2}g(t)=\textrm{e}^{t}+C$, e portanto $$\colorbox{green!20}{g(t)=t^2\textrm{e}^{t}+Ct^2}.$$
Questão 4
Dividindo a equação por $t$, obtemos $$y''+\frac{2}{t}y'+\textrm{e}^{t}y=0.$$ Pela fórmula de Abel, para $y''+p(t)y'+q(t)y=0$, $$W(t)=W(t_0)\textrm{e}^{-\int_{t_0}^{t}p(s)\,ds}.$$ Aqui $p(t)=\frac{2}{t}$ e $t_0=1$. Portanto, $$W(5)=2\textrm{e}^{-\int_1^5 2/s\,ds} =2\textrm{e}^{-2\log 5}=\colorbox{green!20}{\frac{2}{25}}.$$
Questão 5
Se $W(f,g)(t)=t^3$, então $f$ e $g$ são linearmente independentes.
Resposta: verdadeiro. Se $f$ e $g$ fossem linearmente dependentes, teríamos $W(f,g)(t)=0$ para todo $t$.
Se $W(f,g)(t)=t^2-1$, então $f$ e $g$ são soluções de uma equação $ay''+by'+cy=0$ para algumas constantes $a,b,c$.
Resposta: falso. O wronskiano de soluções de uma equação linear homogênea é sempre nulo ou nunca nulo no intervalo considerado. A função $t^2-1$ se anula apenas em pontos isolados.
Se $y_1(t)$ e $y_2(t)$ são funções com um mínimo em $t=0$, então $y_1$ e $y_2$ podem ser um sistema fundamental de soluções no intervalo $(-1,1)$.
Resposta: falso. Se ambas têm mínimo em $t=0$, então $y_1'(0)=y_2'(0)=0$, e assim $W(y_1,y_2)(0)=0$. Para soluções de uma equação linear homogênea, isso força o wronskiano a ser identicamente nulo, logo as soluções não formam um sistema fundamental.
Se $y_1$ e $y_2$ são soluções de $t^2y''-yy'=0$, então $c_1y_1(t)+c_2y_2(t)$ também é solução para quaisquer constantes $c_1,c_2$.
Resposta: falso. A equação não é linear por causa do termo $yy'$, portanto o princípio de superposição não se aplica em geral.