Primeiro colocamos a equação na forma normal: $$y''+\frac{3}{t}y'+\frac{1}{t^2}y=0.$$ Para uma segunda solução, usamos $$y_2=y_1\int \frac{\textrm{e}^{-\int p(t)\,dt}}{y_1^2}\,dt,$$ onde $p(t)=3/t$. Assim, $$\textrm{e}^{-\int 3/t\,dt}=t^{-3},\qquad y_1^2=t^{-2}.$$ Portanto, $$y_2=\frac{1}{t}\int \frac{t^{-3}}{t^{-2}}\,dt =\frac{1}{t}\int \frac{1}{t}\,dt.$$ Logo, $$\colorbox{green!20}{y_2(t)=\frac{\log t}{t}},\qquad t>0.$$

A equação característica é $r^2-r-2=0$, logo $r=2$ e $r=-1$. Assim, $$y(t)=C_1\textrm{e}^{2t}+C_2\textrm{e}^{-t}.$$ Das condições iniciais, $$C_1+C_2=\alpha,\qquad 2C_1-C_2=-1.$$ Daí, $$C_1=\frac{\alpha-1}{3},\qquad C_2=\frac{2\alpha+1}{3}.$$ Portanto, $$\colorbox{green!20}{y(t)=\frac{1}{3}\textrm{e}^{-t} \left(1+2\alpha+(\alpha-1)\textrm{e}^{3t}\right)}.$$

Para que $y(t)\to 0$, o termo com $\textrm{e}^{2t}$ deve desaparecer. Logo $\alpha-1=0$, e $$\colorbox{green!20}{\alpha=1}.$$

As soluções fundamentais indicam raízes características $r=-1$ e $r=4$. Portanto, o polinômio característico é $$(r+1)(r-4)=r^2-3r-4.$$ Assim, uma equação diferencial correspondente é $$\colorbox{green!20}{y''-3y'-4y=0}.$$

A equação característica é $9r^2+12r+4=(3r+2)^2=0$, logo $r=-2/3$ é raiz dupla. Portanto, $$y(t)=\textrm{e}^{-2t/3}(C_1+C_2t).$$ Como $y(0)=A$, temos $C_1=A$. Além disso, $$y'(0)=C_2-\frac{2}{3}C_1=2,$$ logo $C_2=2+\frac{2}{3}A$. Assim, $$\colorbox{green!20}{y(t)=\frac{1}{3}\textrm{e}^{-2t/3} \left(3A+(2A+6)t\right)}.$$

Como o fator exponencial é sempre positivo, o sinal de $y(t)$ é determinado pela reta $3A+(2A+6)t$. Para decidir se a solução converge a zero por valores positivos ou negativos, olhamos o coeficiente do termo linear, pois ele domina o sinal quando $t$ é grande e positivo: $\colorbox{green!20}{2A+6}$.
Se $2A+6>0$, ou seja, $A>-3$, a solução se torna eventualmente positiva. Se $2A+6<0$, ou seja, $A<-3$, a solução se torna eventualmente negativa.Assim, o valor que separa os dois comportamentos é $$\colorbox{green!20}{A=-3}.$$

Como $W(y_1,y_2)(t)=\cos t$ não é identicamente nulo, podemos afirmar que o conjunto $\{y_1,y_2\}$ é linearmente independente.

Por outro lado, não existe equação linear homogênea com coeficientes constantes $$ay''+by'+cy=0,\qquad a\neq 0,$$ para a qual $y_1$ e $y_2$ sejam soluções e tenham esse wronskiano. De fato, o wronskiano de duas soluções de uma equação linear homogênea de segunda ordem é sempre identicamente nulo ou nunca se anula no intervalo considerado. A função $\cos t$ se anula em pontos isolados, mas não é identicamente nula. Portanto, isso é impossível para uma equação linear homogênea.