A equação característica é $$r^2-r+\frac{1}{4}=0,$$ isto é, $$(r-\frac{1}{2})^2=0.$$ Logo a solução geral é $$y(t)=(C_1+C_2t)\textrm{e}^{t/2}.$$

Da condição inicial $y(0)=2$, temos $C_1=2$. Além disso, $$y'(t)=\left(C_2+\frac{1}{2}(C_1+C_2t)\right)\textrm{e}^{t/2},$$ e portanto $$b=y'(0)=C_2+1.$$ Assim, $C_2=b-1$ e $$\colorbox{green!20}{y_b(t)=\left(2+(b-1)t\right)\textrm{e}^{t/2}}.$$

Quando $b\ne1$, o termo dominante é $$(b-1)t\textrm{e}^{t/2}.$$ Portanto, o valor crítico é $$\colorbox{green!20}{b=1}.$$ Para $b>1$ as soluções crescem para $+\infty$, enquanto para $b<1$ crescem para $-\infty$. No caso $b=1$, a solução ainda cresce para $+\infty$, mas é a curva limite entre os dois comportamentos.

A equação homogênea associada é $$u''+4u=0,$$ cuja solução geral é $$u_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\operatorname{sen}(2t).$$ Como o termo não homogêneo $\cos(2t)$ já aparece na solução homogênea, há ressonância. Por isso, a tentativa usual deve ser multiplicada por $t$.

Podemos procurar uma solução particular da forma $$u_p(t)=t(A\cos(2t) + B\operatorname{sen}(2t)).$$ Para evitar uma conta muito longa, aplicamos o operador $L[u]=u''+4u$ aos dois termos básicos: $$L[t\cos(2t)]=-4\operatorname{sen}(2t),$$ $$L[t\operatorname{sen}(2t)]=4\cos(2t).$$ Portanto, $$L[u_p]=-4A\operatorname{sen}(2t)+4B\cos(2t).$$ Comparando com $L[u_p]=\cos(2t)$, obtemos $A = 0$ e $B = \frac{1}{4}$. Logo, $$\colorbox{green!20}{u_p(t)=\frac{1}{4}t\operatorname{sen}(2t)},$$ e a solução geral da equação não homogênea é $u(t)=u_h(t)+u_p(t).$

A equação característica é $$r^2-r-2=0,$$ isto é, $$(r-2)(r+1)=0.$$ Assim, $$y(t)=C_1\textrm{e}^{2t}+C_2\textrm{e}^{-t}.$$

Das condições iniciais, $$C_1+C_2=\alpha,\qquad 2C_1-C_2=2.$$ Somando as duas equações, obtemos $$3C_1=\alpha+2.$$ Logo, $$C_1=\frac{\alpha+2}{3},\qquad C_2=\frac{2\alpha-2}{3}.$$ Portanto, $$\colorbox{green!20}{y_\alpha(t)= \frac{\alpha+2}{3}\textrm{e}^{2t} +\frac{2\alpha-2}{3}\textrm{e}^{-t}}.$$

Para que $y(t)\to0$, precisamos eliminar o modo crescente $\textrm{e}^{2t}$. Assim, $$\frac{\alpha+2}{3}=0,$$ e portanto $$\colorbox{green!20}{\alpha=-2}.$$ Nesse caso, a solução é $y(t)=-2\textrm{e}^{-t}$.

Observamos que $$y(0)=\operatorname{sen}(0)=0.$$ Além disso, $$y'(t)=2t\cos(t^2),$$ logo $$y'(0)=0.$$

Portanto, se $y(t)=\operatorname{sen}(t^2)$ fosse solução de uma equação linear homogênea com coeficientes contínuos, ela resolveria o problema inicial $$y''+p(t)y'+q(t)y=0,\qquad y(0)=0,\quad y'(0)=0.$$ Mas, pelo teorema de existência e unicidade, a única solução desse problema inicial homogêneo é a solução nula $y(t)=0, \forall t \in I$.

Como $\operatorname{sen}(t^2)$ não é identicamente nula, concluímos que a função $$\colorbox{green!20}{y(t)=\operatorname{sen}(t^2)}$$ não pode ser tal solução.

Como a equação é linear e homogênea, qualquer combinação linear de soluções também é solução. Portanto, $$y_3=y_1+y_2,\qquad y_4=y_1-y_2$$ são soluções da mesma equação.

Resta verificar que elas são linearmente independentes. Usando a linearidade do Wronskiano, o fato que $W(y_1,y_1)=W(y_2,y_2)=0$ e $W(y_1,y_2)=-W(y_2,y_1)$, temos $$\begin{aligned} W(y_3,y_4) &=W(y_1+y_2,y_1-y_2)\\ &= \cancel{W(y_1,y_1)} - W(y_1,y_2) + W(y_2,y_1) - \cancel{W(y_2,y_2)} \\ &=-2W(y_1,y_2). \end{aligned}$$ Como $\{y_1,y_2\}$ é um conjunto fundamental, temos $W(y_1,y_2)\ne0$ em $I$. Logo, $$\colorbox{green!20}{W(y_3,y_4)=-2W(y_1,y_2)\ne0}.$$

Assim, $\{y_3,y_4\}$ também é um conjunto fundamental de soluções.