Equações Lineares Homogêneas de 2ª Ordem

Prova A, 4ª prova parcial de Cálculo IV-IIIb, 08/07/2017.

Solução

Questão 1

Encontre a solução do problema de valor inicial $y''+4y'+5y=0,\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0$. Faça um esboço da solução.

A equação característica é $$r^2+4r+5=0.$$ Assim, $$r=-2\pm i.$$ Portanto, $$y(t)=\textrm{e}^{-2t}\left(C_1\cos t+C_2\operatorname{sen} t\right).$$

Da condição $y(0)=1$, temos $C_1=1$. Além disso, $$y'(0)=-2C_1+C_2=0,$$ logo $C_2=2$. Consequentemente, $$\colorbox{green!20}{y(t)=\textrm{e}^{-2t}\left(\cos t+2\operatorname{sen} t\right)}.$$

\(y(t)=\textrm{e}^{-2t}(\cos t+2 \text{sen} t)\)

Questão 2

Encontre a solução do problema $y''-y'+0.25y=0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=b$. Determine o valor de $b$ que separa as soluções tais que $y(t)\to+\infty$ daquelas tais que $y(t)\to-\infty$ quando $t\to\infty$.

A equação característica é $$r^2-r+\frac{1}{4}=0,$$ isto é, $$(r-\frac{1}{2})^2=0.$$ Temos uma raiz dupla $r=1/2$, e portanto $$y(t)=(C_1+C_2t)\textrm{e}^{t/2}.$$

Da condição $y(0)=2$, obtemos $C_1=2$. Como $$y'(0)=C_2+\frac{1}{2}C_1=C_2+1=b,$$ segue que $C_2=b-1$. Assim, $$\colorbox{green!20}{y(t)=\left(2+(b-1)t\right)\textrm{e}^{t/2}}.$$

Para $t$ grande, o sinal da solução é determinado pelo coeficiente de $t\textrm{e}^{t/2}$, isto é, por $b-1$. Logo, $$\colorbox{green!20}{b=1}$$ é o valor que separa os dois comportamentos.

\(y_b(t)=\left(2+(b-1)t\right)\textrm{e}^{t/2}\)

Questão 3

Dada a equação linear $(t-1)y''-ty'+y=0$, com $t>1$, e uma solução $f(t)=\textrm{e}^t$, use redução de ordem para encontrar uma segunda solução.

Procuramos uma segunda solução da forma $$g(t)=u(t)f(t)=u(t)\textrm{e}^t.$$ Então $$g'=u'\textrm{e}^t+u\textrm{e}^t,\qquad g''=u''\textrm{e}^t+2u'\textrm{e}^t+u\textrm{e}^t.$$

Substituindo na equação,

$$\begin{aligned} (t-1)g''-tg'+g &=(t-1)\left(u''\textrm{e}^t+2u'\textrm{e}^t +u\textrm{e}^t\right)\\ &\quad -t\left(u'\textrm{e}^t+u\textrm{e}^t\right) +u\textrm{e}^t\\ &=\left((t-1)u''+2(t-1)u' +(t-1)u-tu'-tu+u\right)\textrm{e}^t\\ &=\left((t-1)u''+(t-2)u'\right)\textrm{e}^t. \end{aligned}$$
$$(t-1)g''-tg'+g$$ $$=(t-1)\left(u''\textrm{e}^t +2u'\textrm{e}^t+u\textrm{e}^t\right)$$ $$\quad -t\left(u'\textrm{e}^t +u\textrm{e}^t\right)+u\textrm{e}^t$$ $$=\left((t-1)u'' +2(t-1)u'\right)\textrm{e}^t$$ $$\quad +\left((t-1)u-tu'-tu+u\right)\textrm{e}^t$$ $$=\left((t-1)u''+(t-2)u'\right)\textrm{e}^t.$$

Como $\textrm{e}^t\ne0$, obtemos $$(t-1)u''+(t-2)u'=0.$$

Fazendo $w=u'$, temos $$w'+\frac{t-2}{t-1}w=0.$$ Como $$\int\frac{t-2}{t-1}\,dt=(t-1)-\log(t-1),$$ um fator integrante é $$\mu(t)=\frac{\textrm{e}^{t-1}}{t-1}.$$ Assim, podemos tomar $$u'(t)=(t-1)\textrm{e}^{-t}.$$

Integrando, $$u(t)=-t\textrm{e}^{-t}+C.$$ Portanto, $$g(t)=u(t)\textrm{e}^t=-t+C\textrm{e}^t.$$ Como múltiplos de $f(t)=\textrm{e}^t$ não produzem uma nova direção no espaço de soluções, podemos escolher $$\colorbox{green!20}{g(t)=t}.$$ Sendo assim, as soluções fundamentais da equação são $$\colorbox{green!20}{y_1 = \textrm{e}^t\, \text{ e }\, y_2 = t\textrm{e}^t}.$$

Provas resolvidas