A equação é linear e o fator integrante é \( \mu(t) = \textrm{e}^{-2t}\). Resolvendo obtemos a solução geral \[ y(t)=2t+1+C\textrm{e}^{2t}. \] Usando \(y(1)=a\), obtemos \[ a=3+C\textrm{e}^2 \qquad\Longrightarrow\qquad C=(a-3)\textrm{e}^{-2}. \] Portanto a solução particular é \[ y(t)=2t+1+(a-3)\textrm{e}^{-2}\textrm{e}^{2t}. \]

Para encontrar o valor de $a$ no qual a solução encosta no eixo $t$, mas não atravessa, não trbalhamos diretamente com a solução acima mas com a própria equação. Deve existir \(t_0\) tal que \(y(t_0)=0\) e \(y'(t_0)=0\). Substituindo na equação, \[ \cancelto{0}{y'(t_0)}-2 \cancelto{0}{y(t_0)} = 0=-4t_0, \] logo \(t_0=0\). Portanto \(y(0)=0\) e assim: \[ (a-3)\textrm{e}^{-2}=-1 \qquad\Longrightarrow\qquad \colorbox{green!20}{\displaystyle a=3-\textrm{e}^2}. \]

Separando as variáveis, \[ (8y-4)\,dy=3x^2\,dx. \] Integrando, \[ 4y^2-4y=x^3+C. \] Como \(y(0)=a\), temos \(C=4a^2-4a\). Portanto, a solução implícita é \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle 4y^2-4y-\left(x^3+4a^2-4a\right)=0}. \]

Pela fórmula quadrática, \[ y(x)=\frac{1}{2}\left(1\pm \sqrt{x^3+(2a-1)^2}\right). \] Quando \(a=0\), escolhemos o sinal negativo para satisfazer \(y(0)=0\): \[ y(x)=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{x^3+1}\right). \] Esta expressão exige \(x^3+1\ge0\), e a equação diferencial não está definida no ponto extremo \(x=-1\). Assim, o domínio maximal é \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle (-1,\infty)}. \]

A solução homogênea é \(C\textrm{e}^{2t}\). Procuramos uma particular da forma \(A+B\cos(t)+D\operatorname{sen}(t)\). Substituindo na equação, obtemos \[ A=-\frac{1}{2},\qquad B=\frac{1}{5},\qquad D=\frac{2}{5}. \] Logo, \[ y(t)=C\textrm{e}^{2t}-\frac{1}{2} +\frac{1}{5}\cos(t)+\frac{2}{5}\operatorname{sen}(t). \]

Como \(y(0)=y_0\), temos \[ y_0=C-\frac{1}{2}+\frac{1}{5} =C-\frac{3}{10}, \] portanto \(C=y_0+\frac{3}{10}\). Assim, \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle y(t)=\textrm{e}^{2t}\left(y_0+\frac{3}{10}\right) -\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\cos(t) +\frac{2}{5}\operatorname{sen}(t)}. \]

Para que a solução seja limitada, o coeficiente de \(\textrm{e}^{2t}\) deve ser zero. Portanto, \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle y_0=-\frac{3}{10}}. \]

Na ausência de predadores, \(p'=rp\), e a população dobra em uma semana. Portanto \[ p(1)=2p(0) \qquad\Longrightarrow\qquad \textrm{e}^{r}=2 \qquad\Longrightarrow\qquad r=\ln(2). \] Como os predadores comem \(0.2\) milhões por dia, comem \(1.4\) milhões por semana. A equação é \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle \frac{dp}{dt}=\ln(2)\,p-1.4}. \]

Resolvendo a equação linear, \[ p(t)=\frac{1.4}{\ln(2)}+C2^t. \] Como \(p(0)=N\), obtemos \(C=N-\frac{1.4}{\ln(2)}\). Portanto, \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle p(t)=\frac{1.4}{\ln(2)} +\left(N-\frac{1.4}{\ln(2)}\right)2^t}. \]

A solução constante de equilíbrio é \(p=\frac{1.4}{\ln(2)}\approx 2.02\). Para que a população não se extinga, é necessário \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle N\ge\frac{1.4}{\ln(2)}\approx 2.02}. \]

A equação característica é \[ r^2+r+2=0. \] Logo, \[ r=\frac{-1\pm\sqrt{1-8}}{2} =-\frac{1}{2}\pm i\frac{\sqrt{7}}{2}. \] Portanto, \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle y(t)=C_1\textrm{e}^{-t/2}\cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2}t\right) +C_2\textrm{e}^{-t/2} \operatorname{sen}\left(\frac{\sqrt{7}}{2}t\right)}. \]

A homogênea associada é \(y_h=C_1\cos(3t)+C_2\operatorname{sen}(3t)\). O termo \(t^2\textrm{e}^{3t}\) sugere uma particular da forma \((A+Bt+Ct^2)\textrm{e}^{3t}\), pois \(3\) não é raiz da equação característica. O termo constante \(6\) sugere uma particular constante \(D\). Assim, \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle Y_p(t)=(A+Bt+Ct^2)\textrm{e}^{3t}+D}. \]

Como \(s^2+2s+2=(s+1)^2+1\), temos \[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{s^2+2s+2}\right\} =\textrm{e}^{-t}\cos(t). \] Além disso, \[ \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=\textrm{e}^{t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3!}{s^4}\right\}=t^3. \] Portanto, \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle h_0(t)=c_1\textrm{e}^{t} +c_2\textrm{e}^{-t}\cos(t)+c_3+c_4t^3}. \]

Para o PVI, tomando transformada de Laplace, \[ (s^2+2s+2)Y(s) =\frac{\textrm{e}^{-\pi s}-\textrm{e}^{-2\pi s}}{s}. \] Logo, \[ Y(s)= \left(\textrm{e}^{-\pi s}-\textrm{e}^{-2\pi s}\right) \frac{1}{s(s^2+2s+2)}. \]

Usando \[ \frac{1}{s(s^2+2s+2)} =\frac{1}{2s} -\frac{1}{2}\left( \frac{s+1}{s^2+2s+2} +\frac{1}{s^2+2s+2}\right), \] definimos \[ h(t)=\frac{1}{2}\left(1-\textrm{e}^{-t}\cos(t) -\textrm{e}^{-t}\operatorname{sen}(t)\right). \] Pelo teorema do deslocamento, \[ \colorbox{green!20}{\displaystyle y(t)=u_\pi(t)h(t-\pi)-u_{2\pi}(t)h(t-2\pi)}. \]