Questão 1
Considere o PVI \[ y'-2y=-4t,\quad y(1)=a. \] O valor de \(a\) para que a solução encoste mas não atravesse o eixo \(t\) é dado por:
\(a=0\) \(a=3-\textrm{e}^2\) \(a=1\) \(a=\textrm{e}^{-2}\)
Solução:
Considere o PVI \[ y'-2y=-4t,\quad y(1)=a. \] O valor de \(a\) para que a solução encoste mas não atravesse o eixo \(t\) é dado por:
A equação é linear e o fator integrante é \( \mu(t) = \textrm{e}^{-2t}\). Resolvendo obtemos a solução geral \[ y(t)=2t+1+C\textrm{e}^{2t}. \] Usando \(y(1)=a\), obtemos \[ a=3+C\textrm{e}^2 \qquad\Longrightarrow\qquad C=(a-3)\textrm{e}^{-2}. \] Portanto a solução particular é \[ y(t)=2t+1+(a-3)\textrm{e}^{-2}\textrm{e}^{2t}. \]
Para encontrar o valor de $a$ no qual a solução encosta no eixo, mas não atravessa, não trbalhamos diretamente com a solução acima mas com a própria equação. Deve existir \(t_0\) tal que \(y(t_0)=0\) e \(y'(t_0)=0\). Substituindo na equação, \[ \cancelto{0}{y'(t_0)}-2 \cancelto{0}{y(t_0)} = 0=-4t_0, \] logo \(t_0=0\). Portanto \(y(0)=0\) e assim: \[ (a-3)\textrm{e}^{-2}=-1 \qquad\Longrightarrow\qquad \colorbox{green!20}{\displaystyle a=3-\textrm{e}^2}. \]