Aplicando a transformada de Laplace e escrevendo $Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}$, obtemos $$\left(s^2Y-s\right)-2\left(sY-1\right)+2Y =\frac{s}{s^2+1}.$$ Assim, $$\left(s^2-2s+2\right)Y =\frac{s}{s^2+1}+s-2.$$

Como $s^2-2s+2=(s-1)^2+1$, temos $$Y(s)= \frac{s}{(s^2+1)((s-1)^2+1)} +\frac{s-2}{(s-1)^2+1}.$$ Fazendo frações parciais, podemos escrever $$Y(s)= \frac{4}{5}\frac{s-1}{(s-1)^2+1} -\frac{2}{5}\frac{1}{(s-1)^2+1} +\frac{1}{5}\frac{s}{s^2+1} -\frac{2}{5}\frac{1}{s^2+1}.$$

Portanto, $$\colorbox{green!20}{y(t)= \frac{4}{5}\textrm{e}^t\cos(t) -\frac{2}{5}\textrm{e}^t\operatorname{sen}(t) +\frac{1}{5}\cos(t) -\frac{2}{5}\operatorname{sen}(t)}.$$

Escrevemos a função $h(t)$ usando a função degrau: $$h(t)=u_\pi(t)-u_{2\pi}(t).$$ Aplicando a transformada de Laplace, vem $$\left(s^2Y-1\right)+2sY+2Y =\frac{\textrm{e}^{-\pi s}-\textrm{e}^{-2\pi s}}{s}.$$ Logo, $$Y(s)= \left(\textrm{e}^{-\pi s}-\textrm{e}^{-2\pi s}\right) \frac{1}{s(s^2+2s+2)} +\frac{1}{s^2+2s+2}.$$

Como $s^2+2s+2=(s+1)^2+1$, temos $$\frac{1}{s(s^2+2s+2)} =\frac{1}{2s} -\frac{1}{2}\frac{s+1}{(s+1)^2+1} -\frac{1}{2}\frac{1}{(s+1)^2+1}.$$ Definindo $$g(t)=\frac{1}{2} -\frac{1}{2}\textrm{e}^{-t}\cos(t) -\frac{1}{2}\textrm{e}^{-t}\operatorname{sen}(t),$$ e observando que $$\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{(s+1)^2+1} \right\} =\textrm{e}^{-t}\operatorname{sen}(t),$$ obtemos a solução $$\colorbox{green!20}{y(t)= \textrm{e}^{-t}\operatorname{sen}(t) +u_\pi(t)g(t-\pi) -u_{2\pi}(t)g(t-2\pi)}.$$