Transformada de Laplace

Prova P3 de Equações Diferenciais, 20/03/2025.

Solução

Questão 1

Considere $y''+9y=t^2\textrm{e}^{3t}+6$. Escreva a forma de uma solução particular $Y_p(t)$ desta equação, sem encontrar as constantes.

Para o termo $t^2\textrm{e}^{3t}$, procuramos uma particular da forma $$\textrm{e}^{3t}(At^2+Bt+C),$$ pois $3$ não é raiz da equação característica homogênea $r^2+9=0$.

Para o termo constante $6$, basta acrescentar uma constante $D$. Assim, uma forma adequada é $$\colorbox{green!20}{Y_p(t)=\textrm{e}^{3t}(At^2+Bt+C)+D}.$$

Questão 2

Encontre a transformada de Laplace de $$ f(t)= \begin{cases} 0, & t<2,\\ (t-2)^2, & t\ge2. \end{cases} $$

Podemos escrever $$f(t)=u_2(t)(t-2)^2.$$ Se $g(t)=t^2$, então $f(t)=u_2(t)g(t-2)$.

Como $$\mathcal{L}\{g(t)\}=\mathcal{L}\{t^2\}=\frac{2}{s^3},$$ pelo segundo teorema do deslocamento, $$\mathcal{L}\{u_2(t)g(t-2)\} =\textrm{e}^{-2s}\mathcal{L}\{g(t)\}.$$ Portanto, $$\colorbox{green!20}{\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{2\textrm{e}^{-2s}}{s^3}}.$$

Questão 3

Resolva o problema de valor inicial $$ y''+y'+\frac{5}{4}y=f(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=0, $$ onde $f(t)=\operatorname{sen}(t)$ para $0\le t<\pi$ e $f(t)=0$ para $t\ge\pi$.

Como $\operatorname{sen}(t)=-\operatorname{sen}(t-\pi)$, podemos escrever $$f(t)=\operatorname{sen}(t)+u_\pi(t)\operatorname{sen}(t-\pi).$$ Logo, $$\mathcal{L}\{f(t)\} =\frac{1}{s^2+1} +\textrm{e}^{-\pi s}\frac{1}{s^2+1}.$$

Aplicando a transformada de Laplace à equação, obtemos $$\left(s^2+s+\frac{5}{4}\right)Y(s) =\left(1+\textrm{e}^{-\pi s}\right)\frac{1}{s^2+1}.$$ Assim, $$Y(s)=H(s)+\textrm{e}^{-\pi s}H(s),$$ onde $$H(s)=\frac{1}{(s^2+1)(s^2+s+5/4)}.$$

Usando a decomposição indicada no enunciado, $$H(s)= \frac{16}{17}\frac{s+1/2}{(s+1/2)^2+1} +\frac{4}{17}\frac{1}{(s+1/2)^2+1} -\frac{16}{17}\frac{s}{s^2+1} +\frac{4}{17}\frac{1}{s^2+1}.$$ Portanto, $H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}$, com $$h(t)= \frac{16}{17}\textrm{e}^{-t/2}\cos(t) +\frac{4}{17}\textrm{e}^{-t/2}\operatorname{sen}(t) -\frac{16}{17}\cos(t) +\frac{4}{17}\operatorname{sen}(t).$$

Pelo deslocamento no tempo, $$\colorbox{green!20}{y(t)=h(t)+u_\pi(t)h(t-\pi)}.$$

\(y(t)=h(t)+u_\pi(t)h(t-\pi)\)

Questão 4

Encontre a solução do problema de valor inicial $$ y''+y=g(t),\quad y(0)=0,\quad y'(0)=1, $$ onde $g(t)=1$ para $0\le t<\pi/2$ e $g(t)=0$ para $t\ge\pi/2$.

Podemos escrever $$g(t)=1-u_{\pi/2}(t).$$ Logo, $$\mathcal{L}\{g(t)\} =\frac{1}{s}-\frac{\textrm{e}^{-\pi s/2}}{s}.$$

Aplicando a transformada de Laplace à equação, temos $$s^2Y(s)-1+Y(s) =\frac{1}{s}-\frac{\textrm{e}^{-\pi s/2}}{s}.$$ Assim, $$Y(s)= \left(1-\textrm{e}^{-\pi s/2}\right)H(s) +\frac{1}{s^2+1},$$ onde $$H(s)=\frac{1}{s(s^2+1)}.$$

Decompondo, $$H(s)=\frac{1}{s}-\frac{s}{s^2+1} =\mathcal{L}\{1-\cos(t)\}.$$ Se $h(t)=1-\cos(t)$, então $$\colorbox{green!20}{y(t)=h(t)-u_{\pi/2}(t)h(t-\pi/2) +\operatorname{sen}(t)}.$$ Equivalentemente, $$\colorbox{green!20}{y(t)=1-\cos(t)+\operatorname{sen}(t) -u_{\pi/2}(t)\left(1-\operatorname{sen}(t)\right)}.$$

\(y(t)=1-\cos(t)+\operatorname{sen}(t)-u_{\pi/2}(t)(1-\operatorname{sen}(t))\)
Provas resolvidas