Exercício 1
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por \(y=2-\frac{x}{2}\), \(y=0\), \(x=1\) e \(x=2\), em torno do eixo \(x\).
Solução
Como a rotação é em torno do eixo \(x\), usamos discos. O raio do disco típico é \(R(x)=2-\frac{x}{2}\), com \(1\leq x\leq 2\).
\(y=2-\frac{x}{2}\)\(A(x)=\pi\left(2-\frac{x}{2}\right)^2\)
\[ V=\pi\int_1^2\left(2-\frac{x}{2}\right)^2\,dx. \]
Expandindo o quadrado,
\[ \left(2-\frac{x}{2}\right)^2 = 4-2x+\frac{x^2}{4}. \]
Portanto,
\[ V = \pi\left[4x-x^2+\frac{x^3}{12}\right]_1^2 = \pi\left(\frac{14}{3}-\frac{37}{12}\right). \]
Assim,
\[ \colorbox{green!20}{V=\frac{19\pi}{12}}. \]