Exercício 2
Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada por \(y=1-x^2\) e \(y=0\), em torno do eixo \(x\).
Solução
A região fica entre \(x=-1\) e \(x=1\). Ao girar em torno do eixo \(x\), cada seção transversal é um disco de raio \(R(x)=1-x^2\).
\(y=1-x^2\)\(A(x)=\pi(1-x^2)^2\)
\[ V=\pi\int_{-1}^{1}(1-x^2)^2\,dx. \]
Como \((1-x^2)^2=1-2x^2+x^4\), temos
\[ V=\pi\left[x-\frac{2x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\right]_{-1}^{1} =2\pi\left(1-\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right). \]
Logo,
\[ \colorbox{green!20}{V=\frac{16\pi}{15}}. \]