Exercício 3
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por \(y=\frac{1}{x}\), \(x=1\), \(x=2\) e \(y=0\), em torno do eixo \(x\).
Solução
Usamos discos, pois a região gira em torno do eixo \(x\). O raio é \(R(x)=\frac{1}{x}\).
\(y=\frac{1}{x}\)\(A(x)=\pi\left(\frac{1}{x}\right)^2\)
\[ V=\pi\int_1^2\left(\frac{1}{x}\right)^2\,dx = \pi\int_1^2 x^{-2}\,dx. \]
Assim,
\[ V = \pi\left[-\frac{1}{x}\right]_1^2 = \pi\left(-\frac{1}{2}+1\right). \]
Portanto,
\[ \colorbox{green!20}{V=\frac{\pi}{2}}. \]