Exercício 4
Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada por \(y=\sqrt{25-x^2}\), \(y=0\), \(x=2\) e \(x=4\), em torno do eixo \(x\).
Solução
A rotação em torno do eixo \(x\) produz discos de raio \(R(x)=\sqrt{25-x^2}\), para \(2\leq x\leq 4\).
\(y=\sqrt{25-x^2}\)\(A(x)=\pi(25-x^2)\)
\[ V=\pi\int_2^4\left(\sqrt{25-x^2}\right)^2\,dx =\pi\int_2^4(25-x^2)\,dx. \]
Calculando,
\[ V=\pi\left[25x-\frac{x^3}{3}\right]_2^4 =\pi\left(\frac{236}{3}-\frac{142}{3}\right). \]
Portanto,
\[ \colorbox{green!20}{V=\frac{94\pi}{3}}. \]