Exercício 5
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por \(x=2\sqrt{y}\), \(x=0\) e \(y=9\), em torno do eixo \(y\).
Solução
Como o eixo de rotação é o eixo \(y\), usamos seções horizontais. Para cada \(y\), o raio do disco é \(R(y)=2\sqrt{y}\).
\(x=2\sqrt{y}\)\(A(y)=\pi(2\sqrt{y})^2\)
\[ V=\pi\int_0^9(2\sqrt{y})^2\,dy = 4\pi\int_0^9y\,dy. \]
Logo,
\[ V=4\pi\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^9 = 2\pi\cdot 81. \]
Assim,
\[ \colorbox{green!20}{V=162\pi}. \]