Exercício 6
Encontre o volume obtido pela rotação da região delimitada por \(y=\ln x\), \(y=1\), \(y=2\) e \(x=0\), em torno do eixo \(y\).
Solução
Escrevemos a curva como \(x=\textrm{e}^y\). Ao girar em torno do eixo \(y\), usamos discos de raio \(R(y)=\textrm{e}^y\), com \(1\leq y\leq 2\).
\(y=\ln x\)\(y=1\)\(y=2\)\(x=\textrm{e}^y\)\(A(y)=\pi\textrm{e}^{2y}\)\((\textrm{e},1)\)\((\textrm{e}^2,2)\)
\[ V=\pi\int_1^2(\textrm{e}^y)^2\,dy = \pi\int_1^2\textrm{e}^{2y}\,dy. \]
Portanto,
\[ V=\pi\left[\frac{\textrm{e}^{2y}}{2}\right]_1^2 =\frac{\pi}{2}(\textrm{e}^4-\textrm{e}^2). \]
Assim,
\[ \colorbox{green!20}{V=\frac{\pi}{2}(\textrm{e}^4-\textrm{e}^2)}. \]