Exercício 7
Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região sob \(y=\operatorname{sen}(x^2)\), com \(0\leq x\leq\sqrt{\pi}\), em torno do eixo \(y\).
Solução
Usando cascas cilíndricas, uma casca típica tem raio \(x\), circunferência \(2\pi x\) e altura \(\operatorname{sen}(x^2)\).
\(y=\operatorname{sen}(x^2)\)\(dV=2\pi x\operatorname{sen}(x^2)\,dx\)
\[ V = 2\pi\int_0^{\sqrt{\pi}}x\operatorname{sen}(x^2)\,dx. \]
Fazemos a substituição \(u=x^2\), de modo que \(du=2x\,dx\).
\[ V = \pi\int_0^\pi \operatorname{sen}u\,du = \pi[-\cos u]_0^\pi. \]
Logo,
\[ \colorbox{green!20}{V=2\pi}. \]
Neste exemplo o método das cascas é bastante conveniente, pois evita ter que descrever a região por fatias horizontais.