Exercício 8
Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por \(y=\frac{1}{x}\), \(y=0\), \(x=1\) e \(x=2\), em torno do eixo \(y\).
Solução
Uma casca típica tem raio \(x\) e altura \(\frac{1}{x}\). Portanto, o produto raio vezes altura fica simplesmente \(1\).
\(y=\frac{1}{x}\)\(dV=2\pi x\frac{1}{x}\,dx\)
\[ V=2\pi\int_1^2 x\frac{1}{x}\,dx = 2\pi\int_1^2 1\,dx. \]
Logo,
\[ \colorbox{green!20}{V=2\pi}. \]