Exercício 9
Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo \(y\), da região delimitada por \(y=4x-x^2\) e \(y=x\).
Solução
Primeiro encontramos os pontos de interseção: \(4x-x^2=x\), isto é, \(x(3-x)=0\). Logo, \(0\leq x\leq 3\).
A altura da casca é a diferença entre a curva superior e a inferior: \((4x-x^2)-x=3x-x^2\). O raio é \(x\).
\(y=4x-x^2\)\(y=x\)\((4x-x^2)-x=3x-x^2\)\(dV=2\pi x(3x-x^2)\,dx\)
\[ V=2\pi\int_0^3x(3x-x^2)\,dx = 2\pi\int_0^3(3x^2-x^3)\,dx. \]
Calculando,
\[ V=2\pi\left[x^3-\frac{x^4}{4}\right]_0^3 =2\pi\left(27-\frac{81}{4}\right). \]
Portanto,
\[ \colorbox{green!20}{V=\frac{27\pi}{2}}. \]