Usamos integração por partes com

\[ u=x, \qquad dv=\cos(5x)\,dx. \]

Então \(du=dx\) e \(v=\frac{1}{5}\operatorname{sen}(5x)\).

Logo,

\[ \int x\cos(5x)\,dx = \frac{x}{5}\operatorname{sen}(5x) - \frac{1}{5}\int \operatorname{sen}(5x)\,dx. \]

Como \(\int \operatorname{sen}(5x)\,dx=-\frac{1}{5}\cos(5x)\), temos

\[ \colorbox{green!20}{\int x\cos(5x)\,dx = \frac{x}{5}\operatorname{sen}(5x) + \frac{1}{25}\cos(5x)+C}. \]