Como \(\ln\sqrt[3]{x}=\ln(x^{1/3})=\frac{1}{3}\ln x\), temos

\[ \int \ln\sqrt[3]{x}\,dx = \frac{1}{3}\int \ln x\,dx. \]

Para calcular \(\int \ln x\,dx\), usamos \(u=\ln x\) e \(dv=dx\). Então \(du=\frac{1}{x}\,dx\) e \(v=x\).

\[ \int \ln x\,dx = x\ln x-\int 1\,dx = x\ln x-x. \]

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\[ \colorbox{green!20}{\int \ln\sqrt[3]{x}\,dx = \frac{x\ln x-x}{3}+C}. \]